关于高等数学中二重积分极坐标变换后的上下限问题

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 23:29:45

关于高等数学中二重积分极坐标变换后的上下限问题
关于高等数学中二重积分极坐标变换后的上下限问题

变换积分顺序,先对θ积分,再对r积分
可我们发现,对θ积分,从左往右画条直线时,与积分区域左边的交点,即积分上限不能用一个式子表达,所以要分块

如图,分为上半部阴影部分D2,和下半部分D1

先积分的,用表达式,后积分的,直接上下限表示

从图中可见,对D1积分时,红线与图形左交点为-Π/4,右交点与曲线r=2acosθ相交,且此时θ∈（0,Π/2）,所以θ=arccos（r/2a）(2a≥r>=0,a>0,所以arccos（r/2a）∈[0,Π/2],r的积分下限0,积分上限√2a

D2,红线均是与曲线r=2acosθ相交,但左边的交点,θ∈[-Π/4,0],右边θ∈[0,Π/2],所以左边为负号,右边为正号,即－arccos（r/2a）≤θ≤arccos（r/2a）,r的积分下限为√2a,积分上限为2a

由此,可写出变换积分顺序后的积分表达式

希望可以帮到你.如有哪里我说得不清楚,欢迎追问.

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