作业帮设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明｛cn}不是等比数列.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:05:58
设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明｛cn}不是等比数列.
设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明｛cn}不是等比数列.
设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明｛cn}不是等比数列.
反证法证明
假设{Cn}是等比数列,设公比为m,又设{an}、{bn}的公比分别为q1和q2,（q1≠q2)
Cn=an+bn=a(n-1)q1+b(n-1)q2
C(n-1)=a(n-1)+b(n-1)
则 Cn=mC(n-1)
即 a(n-1)q1+b(n-1)q2=m[a(n-1)+b(n-1)]
a(n-1)(q1-m)+b(n-1)(q2-m)=0
因为an*bn≠0,当q1=m时,必有m=q2,与已知矛盾,所以m≠q1,同样m≠q2.
所以
a(n-1)/b(n-1)=(m-q2)/(q1-m) (1)
a(n-1)/b(n-1)=a(n-2)q1/b(n-2)q2 （2）
又 an=a(n-2)q1^2 bn=b(n-2)q2^2 a(n-1)=a(n-2)q1 b(n-1)=b(n-2)q2
Cn=C(n-2)m^2
即 a(n-2)/b(n-2)=(m^2-q2^2)/(q1^2-m^2) (3)
由（1）、（2）、（3）得到
q1(m^2-q2^2)(q1-m)=q2(q1^2-m^2)(m-q2)
(q1-m)(m-q2)(q1-q2)m=0
所以m=q1 或 m=q2 或 q1=q2 或m=0
当m=q1 或 m=q2 或 q1=q2 时,均与已知矛盾,又公比不能为0,
因此假设错误,原命题得证
证明：
设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an＋bn，则
C1C3＝a1^2p^2+b1^2q^2+a1b1(p^2+q^2
C2^2=a1^2p^2+b1q^2+2a1b1pq
易证 c2^2≠C1C2,
故｛Cn｝不是等比数列