无理数加有理数等于无理数 该怎样证明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 05:48:54
无理数加有理数等于无理数 该怎样证明

无理数加有理数等于无理数 该怎样证明
无理数加有理数等于无理数 该怎样证明

无理数加有理数等于无理数 该怎样证明
反正法.
设无理数p,有理数q
令r=p+q
如果r为有理数,则p=r-q
注意两个有理数相减还是有理数,所以上面等式右边是有理数.
而左边是无理数.
从面矛盾.
所以r只能是无理数.
证毕.

假设无理数P,有理数A/B 有理数C/D 其中A,B,C,D为整数,B≠0,D≠0
假设P+A/B=C/D
则P=C/D-A/B=(BC-AD)/BD
可以知道BC-AD为整数 BD为不为0整数 所以P为有理数
与假设不相符
假设不成立
所以得证。

我们知道有理数+/-有理数=有理数
假设无理数+有理数=有理数,那么无理数就可以表示为:
无理数=有理数-有理数
这和我们知道的有理数+/-有理数=有理数的结论是矛盾的,因此假设不成立。从而证明了无理数+有理数=无理数