作业帮1和0.9999……9循环相等么?请附加证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 05:11:00
1和0.9999……9循环相等么?请附加证明
1和0.9999……9循环相等么?请附加证明
1和0.9999……9循环相等么?请附加证明
是相等的
学习数学的学生往往拒绝接受0.999… = 1的等式,其原因有很多,从根本不相同的外观,到对极限概念的深度疑虑,乃至对无穷小的本性的异议.有不少贡献因素,造成了这种混淆；
* 学生们常常“坚信一个数能用一种且只能用一种小数的方法来表示”.看到两个明显不同的小数,表示的却是相同的实数,这似乎是一个悖论,而表面上熟悉的数1,更使这个悖论加深.
* 有些学生把“0.999…”（或类似的记法）理解为很长但有限的一串9,也许长度是可变的、未特别指出的.如果他们接受了有无穷多个9的事实,他们仍然可能认为“在无穷远处”“有最后的一个9”.[34]
* 直觉和模棱两可的教导,都让学生觉得数列的极限是一个无限的过程,而不是一个确定的值,因为一个数列不一定就有极限.如果他们明白了数列和它的极限的差别,他们就有可能把“0.999…”理解为数列,而不是它的极限.[35]
* 有些学生把0.999…视为一个定值,与1的差是无穷小,但不是零.
* 有些学生相信收敛级数的值最多只是一个估计,也就是0.999...约等于1
证明：
1.
1/3=0.33.
3*(1/3)=0.999...=1
2.
1.00000…
- 0.99999…
0.00000…
3.
一个特别的除法竖式
用竖式计算可得8.999…÷ 9=0.999…
设n=0.999…
则(8+n)/9=n
解此一元一次方程得n=1
所以0.999…=n=1
4.位数操作
另外一种证明更加适用于其它循环小数.当一个小数乘以10时,其数字不变,但小数点向右移了一位.因此10 × 0.999…等于9.999…,它比原来的数大9.
考虑从9.999…减去0.999….我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位,结果都是9 - 9,也就是0.但末尾的零并不能改变一个数,所以相差精确地是9.最后一个步骤用到了代数.设0.999… = c,则10c − c = 9,也就是9c = 9.等式两端除以9,便得证：c = 1.
5.无穷级数和数列
使用等比级数的有力的收敛定理：
如|r|
0.[9]中[9]表示9的循环！
0.[9]
=9×0.[1]
=9×[(1/10)+(1/100)+(1/1000)+···+(1/10^n)+···]
=9×[(1/10)+(1/10)^2+(1/10)^3+···+(1/10)^n+···]
=9×lim(n→＋∞)|[(1/10)×(1-(1/10)^n)/(1-(1/10))]
=9×li...
全部展开
0.[9]中[9]表示9的循环！
0.[9]
=9×0.[1]
=9×[(1/10)+(1/100)+(1/1000)+···+(1/10^n)+···]
=9×[(1/10)+(1/10)^2+(1/10)^3+···+(1/10)^n+···]
=9×lim(n→＋∞)|[(1/10)×(1-(1/10)^n)/(1-(1/10))]
=9×lim(n→＋∞)|[(1-(1/10)^n)/9]
=9×(1/9)×lim(n→＋∞)|[1-(1/10)^n]
=lim(n→＋∞)|[1-(1/10)^n]
=1-lim(n→＋∞)|[(1/10)^n]
=1-0
=1
收起
不相等。整数部分1大于0.
因为1/3=0.3333....
所以 3*1/3=0.999....
3*1/3=1
1=0.9999....
1/3=0.3333......
3*1/3=0.999....
3*1/3=1
1=0.9999....