证明X^3+x=cosx只有一个正根,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 21:37:05

证明X^3+x=cosx只有一个正根,
证明X^3+x=cosx只有一个正根,

证明X^3+x=cosx只有一个正根,
令 f(x)= x³+x-cosx
f(0)=-10
所以f(x)=0在(0,1)上有一根
有 f'(x) =3x²+1+sinx
由sinx>=-1有,当x>0时f'(x)>0
所以f(x)单调.
所以f(x)=0只有一正根
即 ^3+x=cosx只有一个正根

令f（x）=X^3+x-cosx
f(0)=-1<0,f(1)=2-cos1>0
所以至少有一解
又因为f（x）的导数=3x^2+1+sinx》0
因此f（x）单调递增，所以f（x）至多有一解
因此f（x）有一解

（o,pi/2）cosx单调递减，在（0，+inf）上x^3+x单调递增，考虑到（0,pi/2）上，X^3+x的值域从(0,(pi/2)^3+pi/2),而cosx为（1,0）有两函数均单调，顾该方程有一个解，（pi/2,+inf）上左式恒大于右式，故无解
综上即证

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