实数x,y满足方程4x+3y-1=0,求x^2+y^2的最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 02:03:23

实数x,y满足方程4x+3y-1=0,求x^2+y^2的最小值
实数x,y满足方程4x+3y-1=0,求x^2+y^2的最小值

实数x,y满足方程4x+3y-1=0,求x^2+y^2的最小值
换一种思维方式：
假设d^2=x^2+y^2,也就是说所求式可以看成是直线4x+3y-1=0的任意一点到左边原点的距离的平方.
要求d^2=x^2+y^2的最小值,所以必有过原点的直线k1与直线k2：4x+3y-1=0垂直.
容易知道k2的斜率=-4/3,所以k1的斜率为3/4,方程可设为：y=3/4x,与4x+3y-1=0连立方程,可以求出垂足坐标为（4/25,3/25）.
所以：d^2=（4/25）^2+（3/25）^2
=1/25.

4x+3y-1=0
=>y = (1-4x)/3
代入x^2+y^2得
x^2+y^2 = x^2+(1-4x)^2/9
=(1-8x+25x^2)/9
=25/9*(x^2-8x/25+1/25)
=25/9*[(x-4/25)^2-16/625+1/25]
>=25/9*[-16/625+1/25]
=25/9*(9/625)
=1/25

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