作业帮数学归纳法证明2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64试猜想一般公式并证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 11:27:02
数学归纳法证明2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64试猜想一般公式并证明
数学归纳法证明2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64试猜想一般公式并证明
数学归纳法证明2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64试猜想一般公式并证明
一般公(n^2+1)+(n^2+2)+...+(n+1)^2=n^3+(n+1)^3
证明：
1.n=1时,2+3+4=1+8,等式成立.
2.设n=k>=2时等式成立,则(k^2+1)+(k^2+2)+...+(k+1)^2=k^3+(k+1)^3
即(k^2+1)+(k^2+2)+...+(k^2+2k+1)=k^3+(k+1)^3
对于n=k+1,有
[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+(k+2)^2
=[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+[(k+1)^2+2k+3]
=[(k^2+1)+(2k+1)]+[(k^2+2)+(2k+1)]+...+[(k^2+2k+1)+(2k+1)]+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^2+1)+(k^2+2)+...+(k^2+2k+1)+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^3+(k+1)^3+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^3+(k+1)^3+6k^2+12k+8
=(k+1)^3+(k+2)^3
等式对n=k+1也成立
3.终上所述,等式对所有正整数n成立
证毕
2+3+4=1+8
2=1²+1 4=2² 1=1³ 8=2³
5+6+7+8+9=8+27
5=2²+1 9=3² 8=2³ 27=3³
10+11+12+13+14+15+16=27+64
10=3²+1 16=4² 27=3³...
全部展开
2+3+4=1+8
2=1²+1 4=2² 1=1³ 8=2³
5+6+7+8+9=8+27
5=2²+1 9=3² 8=2³ 27=3³
10+11+12+13+14+15+16=27+64
10=3²+1 16=4² 27=3³ 64=4³
猜想：(n²+1)+(n²+2)+(n²+3)+……+(n+1)²=n³+(n+1)³ （n∈Z+）
可以直接证明：
(n²+1)+(n²+2)+(n²+3)+……+(n+1)²
=[n²+1+(n+1)²][(n+1)²-n²]/2
=(n²+1+n²+2n+1)(2n+1)/2
=(n²+n+1)(2n+1)
=2n³+2n²+2n+n²+n+1
=n³+(n³+3n²+3n+1)
=n³+(n+1)³
收起