作业帮线性代数问题——β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解,为什么可以得出r(β1、β2)小于或等于n-r(A)?β1、β2为什么是线性相关的?其实是这样的！设4维列向量α1，α2，α3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 18:34:36
线性代数问题——β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解,为什么可以得出r(β1、β2)小于或等于n-r(A)?β1、β2为什么是线性相关的?其实是这样的！设4维列向量α1，α2，α3
线性代数问题——β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解
β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解,为什么可以得出r(β1、β2)小于或等于
n-r(A)?β1、β2为什么是线性相关的?
其实是这样的！设4维列向量α1，α2，α3线性无关，且与4维列向量β1、β2均正交，证明β1、β2线性相关。我不是很明白。
线性代数问题——β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解,为什么可以得出r(β1、β2)小于或等于n-r(A)?β1、β2为什么是线性相关的?其实是这样的！设4维列向量α1，α2，α3
因为
解空间维数+r（A）=n
所以解空间维数等于 n-r(A）
而r(β1、β2)是解空间的由(β1、β2)生成的子空间的维数,当然小于等于解空间维数
所以
r(β1、β2)小于或等于 n-r(A）
β1、β2未必是线性相关的
不然解空间维数不恒为1了吗
.
那我也给你补充一下吧
题目是这样的话,就相当于
β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解
其中A是由α1,α2,α3拼成的,所以r(A)=3
且n=4（4维全空间）
所以r(β1、β2)
因为A的秩小于等于n
上面的解释都很好,更几何的说法是,对于A的每一行,所代表的向量,x都和它垂直(正交), 所以, x垂直于 A的所有行向量张成一个r(A)维的子空间, 那么x可以取其正交补空间中的任意一个值.
那么, β1、β2既然都属于这个补空间, 他们张成的空间维数当然不超过这个子空间的维数, 这就是 r(β1、β2) <= n - r(A)
同样, 如果r(A)
全部展开
上面的解释都很好,更几何的说法是,对于A的每一行,所代表的向量,x都和它垂直(正交), 所以, x垂直于 A的所有行向量张成一个r(A)维的子空间, 那么x可以取其正交补空间中的任意一个值.
那么, β1、β2既然都属于这个补空间, 他们张成的空间维数当然不超过这个子空间的维数, 这就是 r(β1、β2) <= n - r(A)
同样, 如果r(A)
收起
。。。。。。
如果题目是这样那当然是线性相关。
a1,a2,a3与β1正交，那么必定线性无关，而全空间是四维空间，于是它们构成了全空间的一组基。
故β2可用a1,a2,a3,β1的线性组合来表示，即
β2=k1a1+k2a2+k3a3+k4β1,又由于β2与a1,a2,a3都
正交，故k1=k2=k3=0,于是β2=k4β1,二者线性相关。...
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。。。。。。
如果题目是这样那当然是线性相关。
a1,a2,a3与β1正交，那么必定线性无关，而全空间是四维空间，于是它们构成了全空间的一组基。
故β2可用a1,a2,a3,β1的线性组合来表示，即
β2=k1a1+k2a2+k3a3+k4β1,又由于β2与a1,a2,a3都
正交，故k1=k2=k3=0,于是β2=k4β1,二者线性相关。
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