求不定方程：(x+y)^2=x^3+y^3的正整数解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 07:50:47

求不定方程：(x+y)^2=x^3+y^3的正整数解
求不定方程：(x+y)^2=x^3+y^3的正整数解

求不定方程：(x+y)^2=x^3+y^3的正整数解
(x+y)^2=x^3+y^3
=(x+y)(x^2-xy+y^2)
则：(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0,
由x,y是正整数,则:x+y>0
则：x^2-xy+y^2-x-y=0
整理得:(x+y)(x+y-1)=3xy
由x,y都是正整数,则：3|(x+y)(x+y-1)
于是：x+y≄3k-1(k是正整数)(否则,x+y=3k-1,x+y-1=3k-2,两者相乘一定不整除3).其中：k>=1
(1)x+y=3k
于是：3k-1=xy
则:x,y是方程：a^2-3ka+(3k-1)=0的根
则：a=1或3k-1
即:x=1,y=3k-1 或x=3k-1,y=1(k是正整数)是不定方程的根.
(2)x+y=3k-2
此时,由于x,y>=1,因此x+y≄1=3-2,因此,k>=2
x+y-1=3k-3=xy
x,y是方程a^2-(3k-2)a+(3k-3)=0的根.
则：a=1或3k-3
即：x=1,y=3k-3 或y=1,x=3k-3是不定方程的根（k是大于等于2的正整数）.

(x+y)^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)
(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0
x^2-xy+y^2-x-y=0
2x^2-2xy+2y^2-2x-2y=0
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2=1+1
x=y=2

1/2;0/1

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