初等数论14页第三题怎么做?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 02:44:22

初等数论14页第三题怎么做?
初等数论14页第三题怎么做?

初等数论14页第三题怎么做?
证：设（1）的任一有理根为p/q,(p,q)=1,q>1
则
an(p/q)^n+an-1(p/q0^(n-1)+...+a1(p/q)+a0=0
所以 anp^n+an-1p^(n-1)+...+a1pq^(n-1)+a0q^n=0
由（2）-anp^n=an-1p^(n-1)+a0q^n
所以q整除上式的右端,所以q|anp^n
又（p,q）=1,q>1,
所以：（q,p^n）=1,所以：q|an
又由（2）有,anp^n+an-1p^(n-1)q+...+a1pq^(n-1)=-a0q^n
因为p整除上式的右端,所以p|a0q^n,(p,q)=1,q>1,
所以：（q^n,p）=1,所以:p|an
故（1）的有理根伟p/q,且p|a0,q|an
假设2^（1/2）为有理数,x=2^(1/2),所以x^2-2=0
次方程为整系数方程,则由上述结论,可知其有有理根只能是
正负1,正负2,这与2^(1/2)为其有理根矛盾,
故2^(1/2)为无理数
另证,设2^(1/2)为有理数
2^(1/2)=p/q,(p,q)=1,q>1,
则2=p^2/q^2,
所以：2q^2=p^2
所以：(p^2,q^2)=(2q^2,p^2)=q^2>1
但由（p,q）=1,q>1知（p^2,q^2）=1
矛盾
故：2^(1/2)不是有理数.
证毕

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