作业帮已知函数f(x)对任意自然数x、y满足:f(x+y^2)=f(x)+2(f(y))^2,且f(1)不等于0,则f(2012)=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 20:04:23
已知函数f(x)对任意自然数x、y满足:f(x+y^2)=f(x)+2(f(y))^2,且f(1)不等于0,则f(2012)=?
已知函数f(x)对任意自然数x、y满足:f(x+y^2)=f(x)+2(f(y))^2,且f(1)不等于0,则f(2012)=?
已知函数f(x)对任意自然数x、y满足:f(x+y^2)=f(x)+2(f(y))^2,且f(1)不等于0,则f(2012)=?
y=0时 f(x)=f(x)+2f²(0)
解得f(0)=0
x=0,y=1时
f(1)=f(0)+2f²(1)=2f²(1)
因f(1)不等于0
所以f(1)=1/2
y=1时 f(x+1)=f(x)+2*f²(1)=f(x)+2*(1/2)²
所以f(x+1)=f(x)+1/2
故f(2012)=f(2011+1)=f(2011)+1/2
=f(2010)+1/2+1/2=f(2010)+(1/2)*2
=.=f(1)+(1/2)*2011
=1/2+(1/2)*2011
=(1/2)*2012
=1006
令x=y=0得：f(0)=f(0)+2(f(2))^2,
2(f(2))^2=0,
所以f(0)=0。
令x=0,y=1得：f(1)=f(0)+ 2(f(1))^2,
f(1)=2(f(1))^2,
因为f(1)不等于0,所以f(1)=1/2.
令y=1得：f(x+1)=f(x)+2(f(1))^2,
即f(x+1)=f(x)+ 1/2.
全部展开
令x=y=0得：f(0)=f(0)+2(f(2))^2,
2(f(2))^2=0,
所以f(0)=0。
令x=0,y=1得：f(1)=f(0)+ 2(f(1))^2,
f(1)=2(f(1))^2,
因为f(1)不等于0,所以f(1)=1/2.
令y=1得：f(x+1)=f(x)+2(f(1))^2,
即f(x+1)=f(x)+ 1/2.
f(x+1)-f(x)=1/2。
f(2012)=[ f(2012)- f(2011)]+ [ f(2011)- f(2010)]+ [ f(2010)- f(2009)]
+……+[ f(2)- f(1)]+ f(1)
=1/2+1/2+1/2+……+1/2+1/2
=1/2*2012=1006.
收起
f(x+y^2)=f(x)+2(f(y))^2
令x=y=0得f(0)=f(0)+2f²(0) ∴f(0)=0
令x=0，y=1得f(1)=f(0)+2f²(1) ∵f(1)≠0∴f(1)=1/2
令y=1得f(x+1)=f(x)+2f²(1)=f(x)+1/2
∴
f(2)=f(1)+1/2=2/2
f(3)=f(2)+1/2=3/2
f(4)=f(3)+1/2=4/2
.................
f(2012)=2012/2=1006
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