作业帮怎样用微积分证明gamma function Γ（n+1)=nΓ（n)最好能再给出Γ（n) = ＝(n-1)!的计算过程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 04:37:25
怎样用微积分证明gamma function Γ（n+1)=nΓ（n)最好能再给出Γ（n) = ＝(n-1)!的计算过程.
怎样用微积分证明gamma function Γ（n+1)=nΓ（n)
最好能再给出Γ（n) = ＝(n-1)!的计算过程.
怎样用微积分证明gamma function Γ（n+1)=nΓ（n)最好能再给出Γ（n) = ＝(n-1)!的计算过程.
由伽玛函数的定义得
Γ(n+1)=∫(0,无穷）x^n e^(-x) dx
= -∫(0,无穷）x^n d(e^(-x))
= -x^n e^(-x)|(0,无穷)+∫(0,无穷）e^(-x) d(x^n) （分部积分）
=0+n∫(0,无穷）x^(n-1) e^(-x) dx
=nΓ(n).
其中 -x^n e^(-x)|(0,无穷)=0 利用了洛毕达法则求lim(x趋于无穷）x^n/e^x=0.
所以 Γ（n) = （n-1）Γ(n-1)= (n-1)（n-2)Γ(n-2)=……=(n-1)!Γ(1)=(n-1)!
因为容易求得 Γ(1)=∫(0,无穷） e^(-x) dx = -e^(-x)|(0,无穷)=1.