作业帮线性代数 判别以下命题是否正确（5）设A是m*n实矩阵,则方程组（AtA）X=AtB必有解；（错误）（6）若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=B（B不等于0）必有唯一解.（正确）理由分别是什么呢?答案
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:35:26
线性代数 判别以下命题是否正确（5）设A是m*n实矩阵,则方程组（AtA）X=AtB必有解；（错误）（6）若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=B（B不等于0）必有唯一解.（正确）理由分别是什么呢?答案
线性代数 判别以下命题是否正确
（5）设A是m*n实矩阵,则方程组（AtA）X=AtB必有解；（错误）
（6）若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=B（B不等于0）必有唯一解.（正确）
理由分别是什么呢?
答案是填反了，应该是第5正确，第6错误。
线性代数 判别以下命题是否正确（5）设A是m*n实矩阵,则方程组（AtA）X=AtB必有解；（错误）（6）若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=B（B不等于0）必有唯一解.（正确）理由分别是什么呢?答案
答案都不对
(5) A是实矩阵,则 r(A^TA) = r(A) = r(A^T)
所以 r(A^TA,A^TB) = r(A^T(A,B))
答案是填反了？重新说明吧.
(5) A是实矩阵, 则 r(A^TA) = r(A) = r(A^T)
所以r(A^TA) ≤ r(A^TA,A^TB) = r[(A^T(A,B)] ≤ r(A^T)=r(A^TA)
于是r(A^TA) = r(A^TA,A^TB) 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.
所以方程组 A^TAX=A^TB 有解. <...
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答案是填反了？重新说明吧.
(5) A是实矩阵, 则 r(A^TA) = r(A) = r(A^T)
所以r(A^TA) ≤ r(A^TA,A^TB) = r[(A^T(A,B)] ≤ r(A^T)=r(A^TA)
于是r(A^TA) = r(A^TA,A^TB) 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.
所以方程组 A^TAX=A^TB 有解.
(6) 这个命题是错误的.参见下例：
x1=0
x2=0
......
xn=0
x1+x2+...+xn=0
只有零解
但是
x1=0
x2=0
......
xn=0
x1+x2+...+xn=1
却是无解的.
不过若A是方阵，则命题就是正确了.理由如下：
方程组AX=0只有零解，则R(A)=n,而R(A,B)=n,故有R(A)=R(A,B).
于是Ax=B有唯一解.
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