三角形的所有知识点,包括作图

三角形的所有知识点,包括作图
三角形的所有知识点,包括作图

三角形的所有知识点,包括作图
三角形知识的实际运用
保明华
三角形知识主要包括三角形内的有关线段,三角形的三边关系,三角形的内角和及多边形的内角和.本文以三角形的边、角关系为例,谈谈其在实际中的应用.
三角形的三边关系是：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的三角关系是：三角形的内角和是180°,任一外角等于和它不相邻的两个内角之和.
例1（山西省中考题）如图1,平面上有A,B,C,D四个村庄,为了解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,（不考虑其他因素）请你画图确定蓄水池H点的位置,使它与四个村庄的距离之和最小.
解析 蓄水池H,应建在四边形ABCD两对角线的交点处才符合要求.
不妨任取一点P,由“三角形的两边之和大于第三边”可推出：PA＋PC≥AC PB＋PD≥BD
所以PA＋PB＋PC＋PD≥AC＋BD
即PA＋PB＋PC＋PD≥HA＋HB＋HC＋HD
所以两条对角线的交点H到四个村庄的距离之和最小.
例2（宁夏回族自治区中考题）一个零件的形状如图2所示,按规定∠A应等于 ,∠B和∠C应分别是32°和21°.检验工人量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
解析 要说明零件不符合规格,只要说明按规定的标准,∠CDB≠148°即可.延长BD交AC于点E.∠BDC=∠1＋∠C（你知道为什么吗?）∠1=∠A＋∠B.即∠BDC=∠A＋∠B＋∠C=90°＋32°＋21°=143°≠148°.
所以这个零件不合格.
例3 某工程队准备开挖一条隧道,从缩短工期考虑,自山的两侧同时开挖.为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上,测量人员在如图3的同一高度定出了两个基准点P（可同时看到点A,M,N）和Q,然后在左边定出开挖的方向线AM,为了准确定出右边开挖的方向线BN,测得∠A=25°,∠APQ=120°,如果点A,M,B在同一直线上,那么∠PBN应等于多少度才能确定N点的位置使与点A,M,B在同一条直线上?
解析 因为点A,M,B在同一直线上,若N点也在这条直线上时,则PA,PB和AMNB构成了三角形的三边,∠NBP是该三角形的一个内角,其度数为180°－∠A－∠P=180°－25°－120°=35°.

三角形的五心：
1、垂心：三角形三条边上的高交于一点，这点就是三角形垂心。
画法：以三角形ABC为例。先画AB边上的高，分别以A和B为圆心，分别以CA和CB为半径画弧，交于M和N两点，过M和N两点的直线就是AB边上的高线；用同样的方法画出BC边上的高线，这两条高线的交点就是三角形的垂心。
2、重心：三角形三条边上的中线交于一点，这点就是三角形的重心。
画法：以三角形...

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三角形的五心：
1、垂心：三角形三条边上的高交于一点，这点就是三角形垂心。
画法：以三角形ABC为例。先画AB边上的高，分别以A和B为圆心，分别以CA和CB为半径画弧，交于M和N两点，过M和N两点的直线就是AB边上的高线；用同样的方法画出BC边上的高线，这两条高线的交点就是三角形的垂心。
2、重心：三角形三条边上的中线交于一点，这点就是三角形的重心。
画法：以三角形ABC为例。先找AB边的中点，分别以A和B为圆心，分别以大于AB的一半长为半径画弧，交于两点，这两点的连线与AB的交点就是线段AB的中点，这个中点和C点的连线就是AB边上的中线；用同样的方法画出BC边上的中线，这两条中线的交点就是三角形的重心。
重心的性质:三角形的重心到顶点的距离等于到对边的距离的2倍。
3、外心：三角形外接圆的圆心就是三角形的外心。
画法：以三角形ABC为例。先画AB边上的垂直平分线，分别以大于AB的一半长为半径画弧，交于两点，过这两点的直线就是线段AB的垂直平分线；用同样的方法画出BC边的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是三角形的外心。
外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。
4、内心：三角形的三个内角的平分线的交点就是三角形的内心。
画法：以三角形ABC为例。先画内角A的平分线，以顶点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB边和AC边于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，以大于MN的一半长为半径画弧交于一点，过这点和A点的直线就是内角A的平分线；用同样的方法画出内角B的平分线，这两条平分线的交点就是三角形的内心。
内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。
5、旁心：三角形相邻两外角的平分线的交点就是三角形的旁心，一个三角形有三个旁心。
画法：参照内心画角平分线的方法。
旁心的性质：三角形的旁心在第三个内角的平分线上。
三角形三条边的关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三角形三内角和定理：三角形的内角和等于180°
三角形的外角和等于360°

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