有理数的意义

有理数的意义
有理数的意义

有理数的意义
1.正数和负数
我们知道,数学中已经认识的数都是从社会实践活动中抽象出来的.在小学阶段学习的正整数,正分数和零都是表示某种量的多少.正数和负数的引入,是因为在实际生活中存在大量具有相反意义的量,它用小学学过的数,不能明确表示其相反的情况.例如某天的某一时刻,在A城是零上10℃,在B城则是零下10℃,仅用度数“10”就不能把两地的温度区别描述出来.又如甲向北走5公里,乙向南走5公里,这个距离“5”也不能把甲、乙两人走的方向描述出来.我们把“零上x度与零下x度”,“向北5公里和向南5公里”等称之为具有相反意义的量.若把其中某个意义的量规定为正量,则与它意义相反的另一个量就规定为负量.如“零上10℃”规定为正10℃,则零下10℃就为负10℃.把正量和负量的单位去掉,就得到正数和负数的概念.像5、1.5、10 、9840等大于0的数叫做正数.在正数前面加上“－”（读作负）号的数,如－5、－1.5、－10 、 －9840等叫做负数.其中,正数前面的“+”号可以忽略不写.
在有关具有相反意义的量的问题中,是否有“既不向上,也不向下”,“既不向北,也不向南”的情况呢?答案是肯定的.“正的量”和“负的量”的分界点,是既不正也不负的,这点应该用小学学过的“零”来表示.所以零既不是正数,也不是负数.而是正数、负数的分界,是唯一的一个真正的中性数.过去,零表示“没有”,在学习了具有相反意义的量以后,我们知道它还有丰富的实践意义.如0℃,不是表示没有温度,而是表示冰点这样一个固定的温度.
虽然生活中存在大量具有相反意义的量,但不是所有的量都能找到具有相反意义的量.如“马路宽2米”就不具有相反意义的量.
要注意小学时“+”、“－”号只是加、减运算符号.有了正、负数后,“+”、“－”号也是数的性质符号.
我们把小学学过的正整数和正分数统称正有理数.在正整数前面放上负号,便得到负整数,在正分数前面加上负号,便得到负分数.负整数和负分数统称负有理数.正有理数、零和负有理数统称为有理数.其中,正数和0也叫做非负数.
正整数（自然数）
正有理数 正分数
有理数 零
负有理数 负整数
负分数
有理数还可以做如下的分类：
正整数（自然数）
整数 零
有理数 负整数
分数 正分数
负分数
即“整数和分数统称有理数”.要注意,有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的分数,这时分数包括整数.本章中的分数是指不包括整数的分数.
还要注意小数和分数的关系：分数都可以化成小数（有限小数或无限循环小数）；小数中的有限小数和无限循环小数可以化成分数,都是有理数.无限不循环小数化不成分数,不是有理数,如π等.
2.数轴
在生活中,我们常常遇到标有数码的量器,如刻度尺、温度计、称杆等.把数标在这样的一条直的物品上,会给我们的研究带来很大的方便.
为了在一条直线上标记有理数,先确定正、负数的分界点 零的位置,叫做原点.然后规定出正方向和单位.这样就得到了一条能标记有理数的直线.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.如

－2 －1 0 1 2 （A） 1 0 －1 （B）

1
0 （C）
－1
都是数轴.但习惯上,一般画图形（A）,画一条水平放置的直线,规定从左到右的方向为正方向.（从原点向右为正方向,从原点向左为负方向）即原点右边的数表示正数,原点左边的数表示负数,原点表示零.一定要记住原点、正方向和单位长度是数轴的三个要素,三者缺一不可.
数轴的引进把数与图形上的点联系起来,所有的有理数都可以用数轴上的点表示,这是数与形的结合,数形结合是学习数学的一个重要方法.
3.相反数
象2和－2在数轴上到原点的距离相等.只有符号不同,我们称作这两个数互为相反数.
只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.
通过对相反数在数轴上的位置的观察,我们发现每一组相反数都分别在原点的两边,到原点的距离相等,只有符号不同.从而得到相反数的几何意义：
在数轴上的原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数叫做互为相反数.0的相反数是零.
一般地,数a的相反数是－a,这里a表示任意的一个数,可以是正数、负数或0.例如当a=+7时,－a=－7,因为7的相反数是－7.当a=－5时,－a=－（－5）=5,因为－5的相反数是5.当a=0时,－a=－0=0,因为0的相反数是0.
4.绝对值
从数轴上看（即绝对值的几何意义）,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作|a|.
由上面绝对值的几何意义很容易知道,|2|=2,|－2|=2,|0|=0.用文字语言叙述就是：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
我们把上述关系用式子表示,即
a (a>0 ) a (a≥0 ) a (a>0 )
|a|= 0 (a=0 ) 或|a|= 或|a|=
－a (a<0 ) －a (a<0 ) －a (a≤0 )
从上面不同的三个角度来研究绝对值,我们发现有理数的绝对值不能是负数,只能是正数或0,即绝对值是一个非负数.
5.有理数大小的比较
由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”,于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数.”
根据这个规定,可以知道：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数.
对于两个正数的大小,小学时我们已经知道.关于两个负数的比较大小,我们虽然已经可以根据它们在数轴上的位置确定,但是我们希望把它们转化为正数来进行比较,这样会使计算简便.如|－3|=3,|－2|=2,因为3>2,所以|－3|>|－2|而由数轴可知－3<－2,即“两个负数,绝对值大的反而小”.

有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。
有理数：22/3 6 17 56/980 12356/937等。
无理数：π=3.1415926535.......根号34呀，等等。。
很高兴为你解答。

有理数，在英语中是（rational number），源自古希腊语。其实并非“有道理的数”的意思，而是“可比的数”，而无理数是“不可比的数”。
古希腊伟大的哲学家、数学家毕达哥拉斯所创里的“毕达哥拉斯学派”坚信：“凡物皆数”。数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
换句话说就是，任意两个数，都可以找到一个度量单位去度量，...

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有理数，在英语中是（rational number），源自古希腊语。其实并非“有道理的数”的意思，而是“可比的数”，而无理数是“不可比的数”。
古希腊伟大的哲学家、数学家毕达哥拉斯所创里的“毕达哥拉斯学派”坚信：“凡物皆数”。数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
换句话说就是，任意两个数，都可以找到一个度量单位去度量，即任意两个数都是“可比的”。比如让你去丈量黑板的高和宽，不管你怎么量（精确到小数多少位），都会有一个足够小的数可以把这两个数的度量。例如1.134和4.27856，这两个数，我们可以找到0.00001度量前面的两数。
但有种情况例外，就是正方形的“边长”和“对角线”的长度就找不到这样一个度量单位。如果令“边长”=1，那么“对角线”= 根号2，我们知道“根号2”是无限不循环小数，显然找不到一个度量单位来度量这个数，也就是说正方形的“边长”和“对角线”的长度是“不可比”的。
所以说有理数就是整数或是整数的比（分数）。它的意义在于任何有理数都是“可比的”，或者说可丈量的。

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