多项式的中国剩余定理是怎样的 讲明白点

多项式的中国剩余定理是怎样的 讲明白点
多项式的中国剩余定理是怎样的 讲明白点

多项式的中国剩余定理是怎样的 讲明白点
例：一个正整数,被3除时余2,被5除时余3,被7除时余2,如果这数不超过100,求这个数.”
《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二,则置一百四十；五五数之剩三,置六十三；七七数之剩二,置三十；并之得二百三十三,以二百一 十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十；五五数之剩一,则置二十一；七七数之剩一,则置十五,一百六以上,以一百五减之,即得.”用现代语言说明这个解 法就是：
首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70,被3与7整除而被5除余1的数21,被3与5整除而被7除余1的数15.
所求数被3除余2,则取数70×2＝140,140是被5与7整除而被3除余2的数.
所求数被5除余3,则取数21×3＝63,63是被3与7整除而被5除余3的数.
所求数被7除余2,则取数15×2=30,30是被3与5整除而被7除余2的数.
又,140＋63＋30=233,由于63与30都能被3整除,故233与140这两数被3除的余数相同,都是余2,同理233与63这两数被5除的余数相同,都是3,233与30被7除的余数相同,都是2.所以233是满足题目要求的一个数.
而3、5、7的最小公倍数是105,故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变,从而所得的数都能满足题目的要求.由于所求仅是一小队士兵的人数,这意味着人数不超过100,所以用233减去105的2倍得23即是所求.
又例：如果整数a除以整数b所得余数是1,那么,整数a的2倍、3倍、4倍、……、（b-1）倍除以整数b所得的余数就分别是
1×2=2,
1×3=3,
1×4=4,
…………
1×（b-1）=b-1.
例如,15÷7=2……余1,即
2×15÷7=4……余2,
3×15÷7=6……余3,
4×15÷7=8……余4,
5×15÷7=10……余5,
6×15÷7=12……余6.
也就是说：
从某数a中连续减去若干个b后,求所得的要求小于数b的差数,实际上就是求数a除以数b所得的余数.
例如,从758里连续减去若干个105后,求所得的要求小于105的差数,实际上就是求758除以105所得的余数.即
758÷105=7……余23.
再例：我国有一本数学古书「孙子算经」有这样一道问题：「今有物,不知其数,三三数之,剩二；五五数之,剩三；七七数之,剩二.问物几何?」
此题的意思是：有一批物品,三个三个地数,剩两个；五个五个地数,剩三个；七个七个地数,剩两个.问这批物品至少有多少个?
术曰：「三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得.」
这是解答.意思是2×70+3×21+2×15=233,233-105-105=23.
后面是法则, 明代数学家程大位在其里用口诀“:三人同行七十稀,五树梅花廿一,七子团圆月正半,除百零五便得知.”表达的.
这个口诀的意思是：把用3除所得的余数乘以70,加上用5除所得的余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘以15,结果若是比105大,就减去105的倍数,便得所求的数.
这就是被称之为“中国剩余定理”.
同余知识：
如果整数a、b都除以自然数n,所得余数相同,就称为a与b对于模n同余,记作a≡b(modn).
例如13与8分别除以5, 所得余数都是3,所以13与8对于模5同余,即13≡8(mod5).
T同余的常用性质:
⑴如果两个整数a与b对于模n同余,那么它们的差一定能被n整除.逆之亦真.
⑵同一个模n的两个同余式可以相加、相减、相乘.即如果 a≡b(mod n),c≡d(mod n),那么
A+c≡b+d(mod n), a-c≡b-d(mod n), a×c≡b×d(mod n).
⑶同余的两个数分别加上模的倍数后,仍然同余; 同余的两个数扩大同样的倍数后,仍然同余.