作业帮关于三角函数的等式证明求证：三角形ABC中,tan(A/2)·tan(B/2)+tan(B/2)·tan(C/2)+tan(A/2)·tan(C/2)=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 00:22:26
关于三角函数的等式证明求证：三角形ABC中,tan(A/2)·tan(B/2)+tan(B/2)·tan(C/2)+tan(A/2)·tan(C/2)=1
关于三角函数的等式证明
求证：三角形ABC中,
tan(A/2)·tan(B/2)+tan(B/2)·tan(C/2)+tan(A/2)·tan(C/2)=1
关于三角函数的等式证明求证：三角形ABC中,tan(A/2)·tan(B/2)+tan(B/2)·tan(C/2)+tan(A/2)·tan(C/2)=1
因为在△ABC中,A+B+C=180°
所以：(A+B+C)/2=90°
所以,(A/2)=90°-(B+C)/2
那么:
tan(A/2)=tan[90°-(B+C)/2]=cot[(B+C)/2]=1/tan[(B+C)/2]
=1/{[tan(B/2)+tan(C/2)]/[1-tan(B/2)tan(C/2)]}
=[1-tan(B/2)tan(C/2)]/[tan(B/2)+tan(C/2)]……………（1）
上述等式左边
tan(A/2)*tan( B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)*tan(A/2)
=tan(A/2)*[tan(B/2)+tan(C/2)]+tan(B/2)tan(C/2)
将(1)式代入上式,则：
=[1-tan(B/2)tan(C/2)]+tan(B/2)tan(C/2)
=1
=右边
所以,命题成立
tan(b/2)tan(c/2)+tan(c/2)tan(a/2)
=tan(c/2)[tan(a/2)+tan(b/2)]
=tan[90-(a+b)/2]×[tan(a/2)+tan(b/2)]
=cot[(a+b)/2]×[tan(a/2)+tan(b/2)]
=[tan(a/2)+tan(b/2)]/tan(a/2+b/2)
=1-tan(...
全部展开
tan(b/2)tan(c/2)+tan(c/2)tan(a/2)
=tan(c/2)[tan(a/2)+tan(b/2)]
=tan[90-(a+b)/2]×[tan(a/2)+tan(b/2)]
=cot[(a+b)/2]×[tan(a/2)+tan(b/2)]
=[tan(a/2)+tan(b/2)]/tan(a/2+b/2)
=1-tan(a/2)tan(b/2)
∴tan(a/2)tan(b/2)+tan(b/2)tan(c/2)+tan(c/2)tan(a/2) = tan(a/2)tan(b/2)+1-tan(a/2)tan(b/2) = 1
分数给我吧？嘿嘿！
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