An表示前n个质数的和,求证：[An,An+1]中至少有一个完全平方数.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 21:51:29

An表示前n个质数的和,求证：[An,An+1]中至少有一个完全平方数.
An表示前n个质数的和,求证：[An,An+1]中至少有一个完全平方数.

An表示前n个质数的和,求证：[An,An+1]中至少有一个完全平方数.
设第n个质数为p(n),显然当n≥2时,p(n+1)≥p(n)+2
当n=1时原命题显然成立
当n≥2时
设小于A(n)的最大的完全平方数为k²,则(k+1)²≥A(n),要证原命题,只需证(k+1)²≤A(n+1)
又A(n+1)=A(n)+p(n+1),(k+1)²=k²+2k+1＜A(n)+2k+1,故又只需证p(n+1)≥2k+1.而p(n+1)≥p(n)+2,故又只需证p(n)≥2k-1
下用反证法证明p(n)≥2k-1
假设p(n)＜2k-1,则2k-1＞p(2)=3,所以k＞2,即k≥3.
那么A(n)=p(1)+p(2)+...+p(n)=2+p(2)+p(3)+...+p(n)
而p(2),p(3),...,p(n)为(2,2k-1)上的互不相同的奇数,故它们的和不超过(2,2k-1)上所有奇数的和,即p(2)+p(3)+...+p(n)≤3+5+...+2k-3=k(k-2)=k²-2k
故A(n)≤k²-2k+2,又A(n)＞k²,则k²＜k²-2k+2,得k＜1.
这与k≥3矛盾!说明假设不成立,即p(n)≥2k-1得证
于是原命题得证

这个我觉得就不对，举一个例子：
A2=2+3=5，A3=2+3+5=10，他们都不是完全平方数

An表示前n个质数的和,求证：[An,An+1]中至少有一个完全平方数. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+3n,a1=1(1)试用an表示a(n+1)(2)设bn=an+3,求证：数列{bn}是等比数列 an=1/根号n ,若Tn表示1/(an*an+1)的前n项和,bn=Tn-(n+1)平方/2,求证:bn+1 已知数列{an}中,a1=1,an/(a(n+1)-2an)=n/2,n=1,2,3...1.求证:数列{an/n}是等比数列2.求数列{an}的前n项和Sn 已知数列an的前n项和为sn sn=2-an求证an是等比数列主要怎么求证a=1≠0? 已知数列an=(1/n)平方,求证an的前n项和Sn 高中数学已知数列{an}的前n项和为Sn,且（a-1)Sn=a（an-1）（a>0,n∈N*） ①求证{an}是等比数列高中数学已知数列{an}的前n项和为Sn,且（a-1)Sn=a（an-1）（a>0,n∈N*） ①求证{an}是等比数列在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和 dn=1/n2,数列dn的前n项和为An,求证:An 已知数列(an)满足a1=1,a下标(n+1)=2an+3.求证数列(an +3)是等比数列.求an的表达式.求数列(an)的前n项的和. 设数列an的前n项和为Sn,满足an+Sn=An^2+Bn+1（A不等于0）,a1=3/2,a2=9/4,求证an-n为等比数列并求an 在数列an中a1=2,a（n+1）下标=4an-3n+1 1设bn=an-n求证bn是等比数列 2求数列an的前n项和sn 已知数列{an}的前n项和sn满足sn=an^2+bn,求证{an}是等差数列已知{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4求证：数列{an}是等比数列数列{an}的前n项和为Sn=2-2an,n∈N*.求证：数列{an}为等比数列,并求通项an 设数列{an}中,a1=1且an+1=3an+4,求证{an+2}是等比数列求{an}的前n项和为Sn 设数列{an},a1=3,前n项a(n+1)=3a-2 求证数列{(an)-1}为等比数列2,求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的公式已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,1.求证：an=2a(n-1)+1(n>=2) 2.求证：数列｛an+1｝为等比数列3.求数列｛an｝的前n项和Sn