用数学归纳法证明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除明天考试，

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 05:40:08

用数学归纳法证明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除明天考试，
用数学归纳法证明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除
明天考试，

用数学归纳法证明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除明天考试，
当n=1时
x^(2n-1)+y^(2n-1)
=x+y
(x+y)/(x+y)=1
能被x+y整除.
假设当n=k(k为整数,且k>=2)时,x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除,
则当n=k=1时
令x^(2k-1)+y^(2k-1)=A(x+y)
则x^(2k-1)=A(x+y)-y^(2k-1)
x^[2(k+1)-1]+y^[2(k+1)-1]
=x^(2k-1+2)+y^(2k-1+2)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*[A(x+y)-y^(2k-1)]+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)-x^2y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(y^2-x^2)*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)
两项中均含x+y
[x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)]/(x+y)
=Ax^2+(y-x)*y^(2k-1)为整数
能被x+y整除.
综上,x^(2n-1)+y^(2n-1)能被x+y整除

全部展开

（1）当n=1时，x^(2n-1)+y^(2n-1)=x+y,显然可以被x+y整除。
（2）假设当n=k时，命题成立，即x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除，则当n=k+1时，x^(2n-1)+y^(2n-1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^2*x^(2k-1)+x^2*y^(2k-1)-x^2*y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2(x^(2k-1)+y^(2k-1))-y^(2k-1)*(x-y)*(x+y),也可以被x+y整除，即n=k+1时，假设也成立。
由（1），（2）可得，对于一切正整数n，x^（2n-1）+y^（2n-1）都能被x+y整除

收起

(1)n=1时,成立
(2)设n=k时,成立
(x^(2k-1)+y^(2k-1))%(x+y)=0
x^(2(k+1)-1)+y^(2(k+1)-1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x^(2k-1)x^2+y^(2k-1)y^2
=x^(2k-1)x^2+y^(2k-1)x^2+y^(2k-1)(y^2-x^2)
=x^2(x^(2k-1)+y^(2k-1))+y^(2k-1)(y+x)(y-x)
∴n=k+1时也成立
综上所述,对任意n>=1结论均成立

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