作业帮真正的费马点是谁证明的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 21:07:30
真正的费马点是谁证明的
真正的费马点是谁证明的
真正的费马点是谁证明的
费马
费马点 的两证明方法
2007年12月22日 星期六 23:39
费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点.
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点.
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1、费马点不在三角形外,这个就不用证了,很显然.但为了严谨,还是说一下
2、当有一个内角大于等于120度时候
对三角形内任一点P
延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP,PC'=PC,（说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点
3、当所有内角都小于120°时
做出△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点,如图,再作任一异于P的点P',连结P'A,P'B,P'C,过P'作P'H垂直EF于H
易知∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,计边长为d,面积为S
则有2S=d(PA+PB+PC)
∵P'A≥P'H
所以2S△EP'F≤P'A*d
同理有
2S△DP'F≤P'B*d
2S△EP'D≤P'C*d
相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C,当且仅当P,P'重合时取到等号
所以P是费马点
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虽然不知道费马点在那里,我们先假设他在某个位置,做出来,证明他不可能具有某些性质,最后确定他的位置,这个证明仅限于三个内角都小于120度的时候.
以A,C为焦点,AP+PC为长轴长,做椭圆,以B为圆心,BP为半径,做圆
我们先假定椭圆与原是相交的,并取他们公共部分内部一点P'
则P'在圆内也在椭圆内
所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC,与假设矛盾,所以圆与椭圆必相切（不可能没有公共点吧,因为都过P）
做他们的公切线,并作直线BP,显然BP与公切线垂直
由椭圆的几何性质易知,BP平分角APC,所以∠APB=∠CPB
同理有∠APC=∠CPB
所以∠APC=∠APB=∠CPB=120°
即为费马点
费马