对任意的实数x,不等式|x+1|+|x-2| >a恒成立,求a的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 09:09:15
对任意的实数x,不等式|x+1|+|x-2| >a恒成立,求a的取值范围

对任意的实数x,不等式|x+1|+|x-2| >a恒成立,求a的取值范围
对任意的实数x,不等式|x+1|+|x-2| >a恒成立,求a的取值范围

对任意的实数x,不等式|x+1|+|x-2| >a恒成立,求a的取值范围
|x+1|+|x-2| 表示数轴上某点x0到x=-1和x=2的距离之和
由题意:当 -1

a小于3就可以了,因为当x在大于-1小于2的范围内时,不等式有最小值为3,此外不等式的值都比3大,所以a要小于3

分类讨论
1.当x<-1时,原式为-(x+1)-(x-2)>a,-2x+1>a,根据x的范围解出a的范围,a=3
2.当-1≤X≤2时,原式为x+1-(x-2)>a,a<3
3.当x>2时,原式2x-1>a,根据x的范围解出a的范围,a=3
综上所述,a≤3

由不等式|x+1|+|x-2| >a可得
当x+1≥0,x-2≥0时,即x≥2时
不等式可化简为:2x-1>a
∵x≥2
∴2x-1的最小值为3
∴a<3
当x+1≤0,x-2≤0时,即x≤-1时
不等式可化简为:1-2x>a
∵x≤-1
∴1-2x的最小值为3
∴a<3
当x+1≥0,x-2≤0时,即2≥x...

全部展开

由不等式|x+1|+|x-2| >a可得
当x+1≥0,x-2≥0时,即x≥2时
不等式可化简为:2x-1>a
∵x≥2
∴2x-1的最小值为3
∴a<3
当x+1≤0,x-2≤0时,即x≤-1时
不等式可化简为:1-2x>a
∵x≤-1
∴1-2x的最小值为3
∴a<3
当x+1≥0,x-2≤0时,即2≥x≥-1时
不等式可化简为:3>a
∴a<3
综上可得a的取值范围为:(-∞,3)
这类题最好是分类讨论,按区间分类讨论就可以解得正确结果。

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