设数列an的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列求数列{n*an}的前n项和Tn

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 20:16:18

设数列an的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列求数列{n*an}的前n项和Tn
设数列an的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列求数列{n*an}的前n项和Tn

设数列an的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列求数列{n*an}的前n项和Tn
2a1=a1+2+1 得 a1=3
2an=Sn+2n+1
2a(n+1)=S(n+1)+2(n+1)+1
相减得
2a(n+1)-2an=a(n+1)+2
a(n+1)=2an+2
a2=2a1+2=6+2=8
a3=2a2+2=16+2=18
a(n+1)=2an+2
两边同时加2得
a(n+1)+2=2an+4
a(n+1)+2=2(an+2)
[a(n+1)+2]/(an+2)=2
所以 an+2为首项为a1+2=3+2=5
公比为2的等比数列
an+2=3*2^(n-1)
an=5*2^(n-1)-2
n*an=5n2^(n-1)-2n
分成两个数列
Tn=5[1*1+2*2+3*2^2+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)]-2(1+2+3+…+n)①
2Tn=5[1*2+2*2^2+3*2^3+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-4(1+2+3+…+n)②
①-②得,-Tn=5[1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n]+2(1+2+3+…+n)
=5(2^n-1-n*2^n)+n(n+1)
=5(1-n)2^n+n^2+n-5
Tn=5(n-1)2^n-n^2-n+5

好熟悉的题目。。。可惜在四年前。。。

由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1，得：
an-2a(n-1)=2 （n>1）……A
1. 当n=1时，a1=3.
带入A式，a2=9，a3=20；
2. A式即为an+2=2[a(n-1)+2]，所以：
(an+2)除以[a(n-1)+2] =2，所以an+2是公比...

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由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1，得：
an-2a(n-1)=2 （n>1）……A
1. 当n=1时，a1=3.
带入A式，a2=9，a3=20；
2. A式即为an+2=2[a(n-1)+2]，所以：
(an+2)除以[a(n-1)+2] =2，所以an+2是公比为2的等比数列。
3. 由上式可求的n*an的通项，再求Tn即可

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由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1，得：
an-2a(n-1)=2 （n>1）…… ①
1. 令n=1，可得：a1=3.
带入①式，易得：a2=9，a3=20；
2. ①式即为an+2=2[a(n-1)+2]，故有：
(an+2)/[a(n-1)+2] =2，所以an...

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由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1，得：
an-2a(n-1)=2 （n>1）…… ①
1. 令n=1，可得：a1=3.
带入①式，易得：a2=9，a3=20；
2. ①式即为an+2=2[a(n-1)+2]，故有：
(an+2)/[a(n-1)+2] =2，所以an+2是公比为2的等比数列。
3. 由上式可求的n*an的通项，再求Tn即可

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你好，很高兴回答你的问题
①由题意，
当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．
当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．
当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．
所以a1=3，a2=8，a3=18
②证明：
∵2an=Sn+2n+1，
∴2an+1=Sn+1+2n+3成立．
两式相减得：2an+1-2an=an+1+2．
∴an+1=2an+2（n∈N*）
∴an+1+2=2（an+2）
∴数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列
③由②得：
an+2=5×2^(n-1)，即an=5×2^(n-1)-2（n∈N*）．
则nan=5n•2^(n-1)-2n（n∈N*）
设数列{5n•2^(n-1)}的前n项和为Pn，
∴Pn=5×1×2^0+5×2×2^1+5×3×2^2+…+5×（n-1）•2^(n-2)+5×n•2^(n-1)，
∴2Pn=5×1×2^1+5×2×2^2+5×3×2^3+…+5（n-1）•2^(n-1)+5n•2^n，
∴-Pn=5（1+2^1+2^2+…+2^(n-1)）-5n•2^n，
即Pn=（5n-5）•2^n+5（n∈N*）
∴数列{n•an}的前n项和Tn=（5n-5）•^n+5-2*n(n+1)/2
∴Tn=（5n-5）•2^n-n^2-n+5（n∈N*)

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a1、a2、a3很好求不解释，直接给答案。
a1=3、a2=8、a3=18
2An=Sn+2n+1
2A（n-1）=S（n-1）+2（n-1）+1
两式相减得：An=2A（n-1）+2
也就是（An+2）=2（A（n-1）+2）
也就是说，数列{An+2}是首项为5，公比为2的等比数列
An=5*2^(n-1)-2
设Cn=n*An
所以Cn=5n*2^（n-1）-2n
Tn=5[1*1+2*2+3*2^2+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)]-2(1+2+3+…+n)①
2Tn=5[1*2+2*2^2+3*2^3+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-4(1+2+3+…+n)②
①-②得，-Tn=5[1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n]+2(1+2+3+…+n)
=5(2^n-1-n*2^n)+n(n+1)
=5(1-n)2^n+n^2+n-5
Tn=5(n-1)2^n-n^2-n+5
结束了……

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因S1=a1，将n=1代入2an=Sn+2n+1中，得
2a1=a1+2*1+1,得a1=3
将n=2代入2an=Sn+2n+1中，得
2a2=(3+a2)+2*2+1,得a2=8
将n=3代入2an=Sn+2n+1中，得
2a3=(3+8+a3)+2*3+1,得a3=18
第二问：
由2an=Sn+2n+1,得Sn=2an-2n-1
因Sn=a1+a2+a3+.....+a(n-1)+an
则有Sn=a1+a2+a3+.....+a(n-1)+an=2an-2n-1
得S(n-1)=an-2n-1
将n-1代入2an=Sn+2n+1中，得S(n-1)=2a(n-1)-2n+1
所以an-2n-1=2a(n-1)-2n+1
整理，得an=2a(n-1)+2
两边加2，得an+2=2a(n-1)+4=2(a(n-1)+2)
所以[an+2]/[a(n-1)+2]=2
即an+2是公比为2的等比数列。
先做到这，我还有事，希望以上两解对你有帮助，第三问你自己能做了吧。

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设数列an的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列 求数列{n*an}的前n项和Tn

设数列an的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列求数列{n*an}的前n项和Tn