矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC＝2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……求证：四边形AECF是菱形

矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC＝2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……求证：四边形AECF是菱形
矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC＝2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……
求证：四边形AECF是菱形

矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC＝2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……求证：四边形AECF是菱形
连接CG因为在矩形ABCD中AC＝2AB,BG=AB,所以AG=AC,角CAG=60°,所以△ACG是等边三角形,因为O为AC的中点,所以GF⊥AC,
因为在矩形ABCD中BC‖AD,所以∠DAC=∠BCA,∠AOF=∠COE=90°.
所以△AOF全等于△COE,所以CE=AF,所以四边形AECF是平行四边形
所以四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

AG=2AB=AC,AB=AO,∠GAO=∠CAB
∴△GAO≌△CAB
∴∠GOA=∠CBA=90°，GO⊥AC
而AO=AC，所以EF⊥平分AC，
∴AE=EC
而RT△ABC中2AB=AC，所以,∠BCA=30°，∠BAC=60°
同理∠AGF=30°
而CB⊥平分AG，所以∠AGE=∠GAE=30°
所以∠EAF=60°=∠E...

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AG=2AB=AC,AB=AO,∠GAO=∠CAB
∴△GAO≌△CAB
∴∠GOA=∠CBA=90°，GO⊥AC
而AO=AC，所以EF⊥平分AC，
∴AE=EC
而RT△ABC中2AB=AC，所以,∠BCA=30°，∠BAC=60°
同理∠AGF=30°
而CB⊥平分AG，所以∠AGE=∠GAE=30°
所以∠EAF=60°=∠EFA
所以△EAF等边
所以AO垂直平分EF
所以得证

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∵∠AOF = ∠COE，AO = CO，∠OAF = ∠OCE
∴△AOF ≌ △COE
∴AF = CE，又∵AF‖CE，∴四边形AECF是平行四边形（平行且相等）
∵BE⊥AG且平分AG，∴AE = GE
在△GAF中，BE是中位线，∴EF = GE
∴AE = EF
∴四边形AECF是菱形（临边相等的平行四边形是菱形）...

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∵∠AOF = ∠COE，AO = CO，∠OAF = ∠OCE
∴△AOF ≌ △COE
∴AF = CE，又∵AF‖CE，∴四边形AECF是平行四边形（平行且相等）
∵BE⊥AG且平分AG，∴AE = GE
在△GAF中，BE是中位线，∴EF = GE
∴AE = EF
∴四边形AECF是菱形（临边相等的平行四边形是菱形）

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证明：连接CG，∵在矩形ABCD中AC=2AB，BG=AB，
∴AG=AC，∠CAG=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∵O为AC的中点，
∴GF⊥AC，
∵在矩形ABCD中，BC‖AD，
∴∠DAC=∠BCA，AO=OC，∠AOF=∠COE=90°，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形，<...

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证明：连接CG，∵在矩形ABCD中AC=2AB，BG=AB，
∴AG=AC，∠CAG=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∵O为AC的中点，
∴GF⊥AC，
∵在矩形ABCD中，BC‖AD，
∴∠DAC=∠BCA，AO=OC，∠AOF=∠COE=90°，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

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∵AC＝2AB
∴Rt△ABC中，∠ACB=30° ∠BAO=60°
∴△AEG是正三角形
∴AO=AB AC=AG
∴△CAB≌△GAO
∴∠AGO=30°
∴∠AFE=60°
∵BG=AB AG⊥BE
∴△AEG是等腰三角形
∴AE=EG=EF(中位线定理，B是中点，则E是中点)
∴△AEF是正三角形<...

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∵AC＝2AB
∴Rt△ABC中，∠ACB=30° ∠BAO=60°
∴△AEG是正三角形
∴AO=AB AC=AG
∴△CAB≌△GAO
∴∠AGO=30°
∴∠AFE=60°
∵BG=AB AG⊥BE
∴△AEG是等腰三角形
∴AE=EG=EF(中位线定理，B是中点，则E是中点)
∴△AEF是正三角形
∴∠EAO=30°
∴AO平分且垂直EF
∵EF平分且垂直AC
∴四边形AECF是菱形

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