作业帮点A,B分别是椭圆X^2/36+Y^2/20=1长轴的左,右端点 ,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.（图
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 19:05:21
点A,B分别是椭圆X^2/36+Y^2/20=1长轴的左,右端点 ,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.（图
点A,B分别是椭圆X^2/36+Y^2/20=1长轴的左,右端点 ,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF
设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
（图片里位于x轴右边的第二个点是F点,画图时画错啦,希望解答的时候过程可以具体些）
点A,B分别是椭圆X^2/36+Y^2/20=1长轴的左,右端点 ,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.（图
由题 a=6 ,b=2√5, c=4
A(-6,0) B(6,0) F(4,0) 设P(x,y)其中y>0
向量(PA·PB)=0 得
(-6-x,-y)·(4-x,-y) =0
即 x^2+2x+y^2-24=0 .(1)
联立 x^2/36+y^2/20=1.(2)
可解得 x=3/2 y=5√3/2>0
即 P(3/2,5√3/2)
设直线AP方程为 K=(5√3/2)/(3/2+6)=√3/3, √3x-3y+6√3=0
设 M(x,0),|MB|=6-x
M到AP直线距离为 d1=|√3x+6√3|/√12=6-x
解得 x=2
椭圆上的点Q(6cosθ,2√5sinθ)到M(2,0)距离d
d^2= (6cosθ-2)^2+(2√5sinθ)^2 其中θ∈[0,2π]
=16cos²θ-24cosθ+24
=16t²-24t+24=(4t-3)²+15>0 其中t∈[-1,1]
可知当t=3/4有min(d^2)=15
min(d)=√15