如何证明三角形中a^2+b^2+c^2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 21:25:39
如何证明三角形中a^2+b^2+c^2

如何证明三角形中a^2+b^2+c^2
如何证明三角形中a^2+b^2+c^2

如何证明三角形中a^2+b^2+c^2
用余弦定理证明.
由余弦定理得:
a^2+b^2-c^2=2abCosC
b^2+c^2-a^2=2bcCosA
a^2+c^2-b^2=2acCosB 三式相加 :
a^2+b^2+c^2=2abCosC+2acCosB+2bcCosA
三角形的三内角余弦不能同时为1
a^2+b^2+c^2ab+ac+bc(如为等边三角形则a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc)
a、b、c为三角形边长(应为不相等,如为等边三角形则a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0)
综上,得:
ab+ac+bc

2(ab+bc+ca)
=ab+bc+ab+ca+bc+ca
=b(a+c)+a(b+c)+c(b+a)
因为三角形中,两边之和大于第三边
所以a+c>b,即b(a+c)>b^2
同理a(b+c)>a^2;c(b+a)>c^2
得证