作业帮2010年黄冈最后一个题的过程谢谢已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1,1）且过原点O．过抛物线上一点P（x,y）向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM（如图）．（1）求字母a,b,c的值；（2）在直线x=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 07:26:50
2010年黄冈最后一个题的过程谢谢已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1,1）且过原点O．过抛物线上一点P（x,y）向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM（如图）．（1）求字母a,b,c的值；（2）在直线x=1
2010年黄冈最后一个题的过程谢谢
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1,1）且过原点O．过抛物线上一点P（x,y）向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM（如图）．
（1）求字母a,b,c的值；
（2）在直线x=1上有一点 F(1,34),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N（1,t）,使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由．
2010年黄冈最后一个题的过程谢谢已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1,1）且过原点O．过抛物线上一点P（x,y）向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM（如图）．（1）求字母a,b,c的值；（2）在直线x=1
（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1,1）且过原点O,
可得- b2a=1,4ac-b24a=1,c=0,
∴a=-1,b=2,c=0．
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x,
故设P点的坐标为（m,-m2+2m）,则M点的坐标（m,54）,
∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形
∴PF=MF,即（m-1）2+（-m2+2m- 34）2=（m-1）2+（ 34- 54）2
∴-m2+2m- 34= 12或-m2+2m- 34=- 12,
①当-m2+2m- 34= 12时,即-4m2+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式无解
②当-m2+2m- 34=- 12时,即-m2+2m=0
∴m=1+ 32或m=1- 32
Ⅰ、当m=1+ 32时,P点的坐标为（1+ 32,14）,M点的坐标为（1+ 32,54）
Ⅱ、当m=1- 32时,P点的坐标为（1- 32,14）,M点的坐标为（1- 32,54）
∴△MPF为为正三角形,P点坐标为：（1+ 32,14）或（1- 32,14）．
（3）当t= 34时,即N与F重合时PM=PN恒成立．
证明：过P作PH与直线x=1的垂线,垂足为H,
在Rt△PNH中,
PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2,
PM2=（ 54-y）2=y2- 52y+ 2516,
P是抛物线顶点,
∴y=-x2+2x；∴PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2- 52y+ 2516,
∴- 32y+2ty+ 916-t2=0,y（2t- 32）+（ 916-t2）=0对任意y恒成立．
∴2t- 32=0且 916-t2=0,
∴t= 34,
故t= 34时,PM=PN恒成立．
∴存在这样的点．