证明二次函数y=aX×X+bX+c(a>0)在[-b/2a,+∞)上是增函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 21:56:12

证明二次函数y=aX×X+bX+c(a>0)在[-b/2a,+∞)上是增函数
证明二次函数y=aX×X+bX+c(a>0)在[-b/2a,+∞)上是增函数

证明二次函数y=aX×X+bX+c(a>0)在[-b/2a,+∞)上是增函数
配方得：f(x)=a[x+b/(2a)]^2+c-b^2/(4a)
设x1>x2>-b/(2a),则有
x1+b/(2a)>x2+b/(2a)>0
a[x1+b/(2a)]^2>a[x2+b/(2a)]^2
因此f(x1)>f(x2)
所以在(－b／2a,＋∞)上是增函数

令x1=t1-b/2a，x2=t2-b/2a，t1>t2>0。
那么，y1-y2
=a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)
=a((t1-b/2a)^2-(t2-b/2a^2))+b(t1-t2)
=(t1-t2)(at1+at2)
>0，
因此y=ax^2+bx+c(a>0)在[-b/2a,+∞)上是增函数。

对称线x=-b/2a
设-(b/2a)f(x2)-f(x1)={a(x2)^2+b(x2)+c}-{a(x1)^2+b(x1)+c}=(x2-x1){a(x2+x1)+b}
由a>0且-(b/2a)0，x2+x1>2*(-b/2a)，即a(x2+x1)+b>0
所以f(x2)-f(x1)>0 故是增函数

【解】
设f(x)=aX²+bX+c在x∈[-b/2a，+∞)上任取x1 , x2
使x1b/a， a(x1+x2)>b
f(x1)-f(x2)=（ax1²-ax2²）+（bx1-bx2）
=a(x1+x2)(x1-x2)+ b(x1-x2)
=(x1-x2)·[a(x1+x2)-b]>0

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