作业帮对于任何的集合S,记|S|为集合的元素个数,记n（S）为集合S的子集个数,若A,B,C是三个集合,满足：n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C)|A|=|B|=100求|A∩B∩C|的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 01:39:43
对于任何的集合S,记|S|为集合的元素个数,记n（S）为集合S的子集个数,若A,B,C是三个集合,满足：n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C)|A|=|B|=100求|A∩B∩C|的最小值
对于任何的集合S,记|S|为集合的元素个数,记n（S）为集合S的子集个数,若A,B,C是三个集合,满足：
n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C)
|A|=|B|=100
求|A∩B∩C|的最小值
对于任何的集合S,记|S|为集合的元素个数,记n（S）为集合S的子集个数,若A,B,C是三个集合,满足：n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C)|A|=|B|=100求|A∩B∩C|的最小值
【解】
有k个元素的集合的子集个数为2^k,而|A|=|B|=100
==> n(A)=n(B)=2^100
==> n(A)+n(B)+n(C)=2^100+2^100+n(C)=2^101+n(C)
由题目知道,n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C)
==> 2^101+n(C)=n(A∪B∪C),其中n(C)和n(A∪B∪C)均为2的整数次幂
==> n(C)=2^101,n(A∪B∪C)=2^102
==> |C|=101,|A∪B∪C|=102
分析一下A∪B,可知100≤|A∪B|≤102,下面分三种情况讨论一下：
1)|A∪B|=100 ==> |A∩B|=100 ==> |A∩B∩C|=99 (此时A=B,所以A∩B∩C就是A去掉元素-C)
2)|A∪B|=101 ==> |A∩B|=99 ==> |A∩B∩C|=99(元素-C不在A∩B中)或98(元素-C在A∩B中)
3)|A∪B|=102 ==> |A∩B|=98 ==> |A∩B∩C|=98(元素-C不在A∩B中)或97(元素-C在A∩B中)
综上所述可知,|A∩B∩C|的可能取值只有99,98,97三种,最小值为97.
若C为空集！则A∪B=101
则A∩B=99
所以最小值为99。