作业帮求证一道关于内心的几何题目!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:04:42
求证一道关于内心的几何题目!
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求证一道关于内心的几何题目!
作△ABC的内切⊙I,过点I分别作AC、AB的垂线IE、IF,E、F为垂足,
则有ID+IF=IE=AE=AF,由切线长定理可得:BF=BD,CE=CD,
∵S△ABC=AB×AC/2=(BF+ID)×(CF+AE)/2=(CD+ID)×(BD+ID)/2
=[CD×BD+ID(BD+CD)+(ID^2)]/2=CD×BD/2+(ID×BC+(ID^2))/2,
∵ID×BC/2=S△ICB,(ID^2)/2=S△AEI,S△ICB+S△AEI=S△ABC/2,
∴(ID×BC+(ID^2))/2=CD×BD/2=S△ABC/2,
∴S△ABC=BD×CD.
证明：过I作IE垂直AC于点E，作IF垂直AB于点F。连接CI,BI,AI。
∵点I为△ABC的内心
∴IE=IF=ID，AI平分直角A，故IE=IF=AE=AF
由直角三角形全等知：CD=CE,BD=BF,AE=AF
而(AB+BC+AC) * ID =(AF+BF+BD+CD+AE+CE)*ID...
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证明：过I作IE垂直AC于点E，作IF垂直AB于点F。连接CI,BI,AI。
∵点I为△ABC的内心
∴IE=IF=ID，AI平分直角A，故IE=IF=AE=AF
由直角三角形全等知：CD=CE,BD=BF,AE=AF
而(AB+BC+AC) * ID =(AF+BF+BD+CD+AE+CE)*ID= (ID+2BD+2CD+ID)*ID=2（BC*ID+ ID²）
又BD*CD=(AB-AF)(AC-AE)=AB*AC - AB*AE - AC*AF+AF*AE=AB*AC - (AB+AC)*ID + ID²=
(AB+BC+AC) * ID- (AB+AC)*ID + ID²=BC*ID+ ID²
∴BD*CD=1/2(AB+BC+AC) * ID=1/2(AB*AC)=S△ABC
故原命题成立
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