a,b∈正实数,且a+b=1,求证a x的平方+b y的平方≥(ax+by)的平方

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 20:00:53
a,b∈正实数,且a+b=1,求证a x的平方+b y的平方≥(ax+by)的平方

a,b∈正实数,且a+b=1,求证a x的平方+b y的平方≥(ax+by)的平方
a,b∈正实数,且a+b=1,求证a x的平方+b y的平方≥(ax+by)的平方

a,b∈正实数,且a+b=1,求证a x的平方+b y的平方≥(ax+by)的平方
要证ax²+by²≥(ax+by)²
即证ax²+by²-(ax+by)²≥0
化简ax²+by²-(a²x²+b²y²+2abxy)≥0
整理得ax²-a²x²+by²-b²y²-2abxy≥0
a(1-a)x²+b(1-b)y²-2abxy≥0
abx²+aby²-2abxy≥0 (a+b=1得a=1-b,b=1-a,代入上式即可)
ab(x²+y²-2xy)≥0
ab(x-y)²≥0
ab为正数,(x-y)²≥0
所以ab(x-y)²≥0
所以ax²+by²≥(ax+by)²

(ax+by)的平方=a2x2+b2y2+2abxy (ax+by)2-ax2-by2=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+abx2+2abxy=ab(x-y)2大于等于零