作业帮若点F1,F2为椭圆(x^2/4)+y^2=1的焦点,P为椭圆上的点,当△F1PF2的面积为1时,向量PF1•向量PF2的值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 16:00:58
若点F1,F2为椭圆(x^2/4)+y^2=1的焦点,P为椭圆上的点,当△F1PF2的面积为1时,向量PF1•向量PF2的值为?
若点F1,F2为椭圆(x^2/4)+y^2=1的焦点,P为椭圆上的点,当△F1PF2的面积为1时,向量PF1•向量PF2的值为?
若点F1,F2为椭圆(x^2/4)+y^2=1的焦点,P为椭圆上的点,当△F1PF2的面积为1时,向量PF1•向量PF2的值为?
椭圆：(x²/4)+(y²/1)=1
a²=4,b²=1,c²=3
a=2,b=1,c=√3
∴F1(-√3,0),F2(√3,0)
∴|F1F2|=2√3
由三角形F1PF2的面积为1
1=[（2√3)h]/2
h=(√3)/3
又结合(x²/4)+h²=1
可得：x=±(2√6)/3
∴点P的坐标为(±(2√6)/3,±√3/3)
∵{[(2√6)/3]-(-√3)}×{(√3)-[(2√6)/3]}=1/3=[(√3)/3]²
∴由射影定理可知
∠F1PF2=90º
∴PF1*PF2=0
设P为（x0，y0）
由题可知
焦点F1坐标为（-√3,0），F2坐标为（√3,0）
向量PF1•向量PF2=(-√3-x0)(√3-x0)+y0^2=x0^2-3+y0^2
△F1PF2的面积为1，即可得
1/2*y0*2√3=1，得y0=√3/3，即y0^2=1/3，x0^2=8/3（画个图就明白）
因此向量PF1̶...
全部展开
设P为（x0，y0）
由题可知
焦点F1坐标为（-√3,0），F2坐标为（√3,0）
向量PF1•向量PF2=(-√3-x0)(√3-x0)+y0^2=x0^2-3+y0^2
△F1PF2的面积为1，即可得
1/2*y0*2√3=1，得y0=√3/3，即y0^2=1/3，x0^2=8/3（画个图就明白）
因此向量PF1•向量PF2=x0^2-3+y0^2=0
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△F1PF2 的底边=|F1F2|=2√3 设高为h
S=1/2*|F1F2|*h=1
h=√3/3 点P得纵坐标为 y=√3/3 一个横坐标为x=2√6/3
F1(-√3,0) F2(√3,0)
向量PF1=(-√3-2√6/3,-√3/3)
向量PF2=(√3-2√6/3,-√3/3)
向量PF1•向量PF2=-3+8/3+1/3=0
设P至夺焦点距离为m,n,
a=2,b=1,c=√3，
|F1F2|=2c=2√3，
m+n=2a=4,
根据余弦定理，
F1F2^2=m^2+n^2-2mncos
mn=2/(1+cosθ)
...
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设P至夺焦点距离为m,n,
a=2,b=1,c=√3，
|F1F2|=2c=2√3，
m+n=2a=4,
根据余弦定理，
F1F2^2=m^2+n^2-2mncos
mn=2/(1+cosθ)
S△F1PF2=mnsinθ/2=1,
mn=2/sinθ,
2/(1+cosθ)=2/sinθ,
sinθ(√2/2)-cosθ(√2/2)=(√2/2),
sin(θ-π/4）=√2/2，
θ-π/4=π/4，
θ=π/2，
∴向量F1P·F2P=mncosθ=0,
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