作业帮如图,梯形ABCD中,AD平行BC,E是AB的中点,EF⊥CD于F,求证:S梯形ABCD=CD乘以EF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 03:14:51
如图,梯形ABCD中,AD平行BC,E是AB的中点,EF⊥CD于F,求证:S梯形ABCD=CD乘以EF
如图,梯形ABCD中,AD平行BC,E是AB的中点,EF⊥CD于F,求证:S梯形ABCD=CD乘以EF
如图,梯形ABCD中,AD平行BC,E是AB的中点,EF⊥CD于F,求证:S梯形ABCD=CD乘以EF
证明：过点E作MN‖CD,交DA的延长线于M,交BC于点N
∴四边形CDMN是平行四边形
∵AM‖BN
∴∠M=∠BNE
∵∠MEA=∠BEN AE=BE
∴△AEM≌△BEN
∴S梯形ABCD=S平行四边形MNCD=CD*EF
连接DE并延长交CB延长线于G，易证，△AED≌△BEG，∴△AED与三角形BEG面积相等。所以梯形面积等于△DGC面积。因为全等，所以 E为DG中点，所以△EDC=
△DGC面积的一半，也等于梯形面积的一半，因为△EDC=CD*EF*0.5,∴CD*EF*0.5=梯形面积*0.5，∴CD*EF=梯形面积
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连接DE并延长交CB延长线于G，易证，△AED≌△BEG，∴△AED与三角形BEG面积相等。所以梯形面积等于△DGC面积。因为全等，所以 E为DG中点，所以△EDC=
△DGC面积的一半，也等于梯形面积的一半，因为△EDC=CD*EF*0.5,∴CD*EF*0.5=梯形面积*0.5，∴CD*EF=梯形面积
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证明：作EH//AD，DG垂直于BC于G，因EH//AD//BC，所以角DHE=角DCB，又角EFH=角DGC=90度，所以三角形EFH相似于三角形DGC，所以EF/DG=EH/DC，即EF*DC=EH*DG，因为EH=（AD+BC）/2，DG是高，所以S梯形ABCD=EH*DG，即S梯形ABCD=EF*DC。
如图，DH⊥BC，G为CD中点 （补充一个DH交EG为K） 下面证明： 欲证S梯形ABCD=CD*EF，可证S△CDE=1/2 S梯形ABCD 又S△CDE=S△DEG+S△CEG，EG=1/2(AD+BC) 故S梯形ABCD=EG*DH ① 而S△DEG=1/2 EG*DK，S△CEG=1/2 EG*HK 所以S△DEG+S△CEG=1/2 EG*(DK+HK)=1/2 EG*DH=1/2 S梯形ABCD 即S△CDE=1/2 S梯形ABCD 所以命题得证