作业帮从1,2.2010这2010个正整数中最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 03:30:59
从1,2.2010这2010个正整数中最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
从1,2.2010这2010个正整数中最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
从1,2.2010这2010个正整数中最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
设共能取n个数a1,a2,……,an
取a1,a2,ai (i=3,4,……,n)
可知 ai除33的余数为定值 记为a
取an,a(n-1),ak (k=1,2,3)
可知 ak除33的余数为定值 且为a
所以 这n个数除33有共同的余数a
因为n个数中任意三个数之和与3a除33同余
为满足题意 有 3a=0,33,66
即 a=0,11,22
当a=0时 满足条件的数一共有[1010/33]+1=31个
当a=11时 满足条件的数一共有[(1010-11)/33]+1=31个
当a=22时 满足条件的数一共有[(1010-22)/33]+1=30个
综上 最多可以取出31个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除
因为所取的数是互不相同的。
所以所取的数中任三个的和是不等的，且均为33的整数倍。
所以不妨假设取出n个数，依次为a1,a2,a3……an(a1＜a2＜a3＜……＜an）
所以a1+a2+a3=33,a2+a3+a4=66,……可以发现任意两数相减均为33的倍数
所以33|ap+aq(p、q∈N） 所以ai=a1+33xi(i=1,2,3……2010)<...
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因为所取的数是互不相同的。
所以所取的数中任三个的和是不等的，且均为33的整数倍。
所以不妨假设取出n个数，依次为a1,a2,a3……an(a1＜a2＜a3＜……＜an）
所以a1+a2+a3=33,a2+a3+a4=66,……可以发现任意两数相减均为33的倍数
所以33|ap+aq(p、q∈N） 所以ai=a1+33xi(i=1,2,3……2010)
33|a1+a2+a3
33|a1+33x2+33x3
所以33|a1
11|a1
a1 min=11
xn=an-a1/33≤2010-11/33
所以xn小于等于60（xn∈N）
n≤61
所以n max=61
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