作业帮设正项数数列{an}的前n项和为Sn,并对于n∈N+,an与1的等差中项等 于√Sn,求数列{an}的通项公式.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 03:03:19
设正项数数列{an}的前n项和为Sn,并对于n∈N+,an与1的等差中项等 于√Sn,求数列{an}的通项公式.
设正项数数列{an}的前n项和为Sn,并对于n∈N+,an与1的等差中项等 于√Sn,求数列{an}的通项公式.
设正项数数列{an}的前n项和为Sn,并对于n∈N+,an与1的等差中项等 于√Sn,求数列{an}的通项公式.
对于n∈N+,an与1的等差中项等 于√Sn
2√Sn=an+1 平方一下
4Sn=(an+1)^2
4S(n-1)=(a(n-1)+1)^2
两式相减得
4Sn-4S(n-1)=4an=(an+1)^2-(a(n-1)+1)^2
4an=an^2+2an-a(n-1)^2-2a(n-1)
an^2-2an=a(n-1)^2+2a(n-1)
an^2-2an+1=a(n-1)^2+2a(n-1)+1
(an-1)^2=[a(n-1)+1]^2
an-1=a(n-1)+1 或 an-1=-a(n-1)-1
先看an-1=a(n-1)+1的情况
an-a(n-1)=2
∴数列(an)是等差数列,公差d=2
2√Sn=an+1
-->
2√S1=2√a1=a1+1
a1-2√a1+1=0
(√a1-1)^2=0
a1=1
an=a1+(n-1)d
=1+(n-1)*2
=2n-1
再看an-1=-a(n-1)-1
得an/a(n-1)=-1
∵都是正项
故舍去
∴an=2n-1
根据题目条件
(an)+1=2√Sn
(an+1)²=4Sn
(a1+1)²=4S1=4a1
a1=1
n>1时
(a(n-1)+1)²=4S(n-1)
4an=4Sn-4S(n-1)
=(an+1)²-(a(n-1)+1)²
=an²+2an-a(n-1)²...
全部展开
根据题目条件
(an)+1=2√Sn
(an+1)²=4Sn
(a1+1)²=4S1=4a1
a1=1
n>1时
(a(n-1)+1)²=4S(n-1)
4an=4Sn-4S(n-1)
=(an+1)²-(a(n-1)+1)²
=an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1)
=(an+a(n-1))(an-a(n-1))+2(an-a(n-1))
得出
(an+a(n-1))(an-a(n-1))-2(an+a(n-1))=0
(an+a(n-1))(an-a(n-1)-2)=0
因为an各项均为正
故an+a(n-1)>0
所以an-a(n-1)-2=0
an=a(n-1)+2
an=2n-1
如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！
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