证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 00:55:01

证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.
证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.

证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.
这道题在不同的阶段可以有不同的方法.
如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).
由A²-A = 2E,知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.
注意到该多项式没有重根,而最小多项式必为化零多项式的因式,可知A的最小多项式没有重根.
因此A可对角化.
如果是没学Jordan标准型,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数 = 代数重数.
这里特征值λ的几何重数是指AX = λX的解空间维数,
代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数 ≤ 代数重数).
因为属于不同特征值的特征向量线性无关,上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量.
由A²-A = 2E,知(A+E)(A-2E) = 0.
于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0,即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n.
-1作为A的特征值的几何重数 = n-r(A+E),而2的几何重数 = n-r(A-2E).
于是由n ≥ -1的代数重数+2的代数重数
≥ -1的几何重数+2的几何重数
= n-r(A+E)+n-r(A-2E)
≥ n,
可知A没有-1,2以外的特征值,且-1和2的几何重数 = 代数重数,因此A可对角化.

原式可化为0.5A（A-E）=E，所以对于A，存在A^-1=A-E,满足A*A^-1=E，同理A^-1*A=E，所以A可逆，所以A可对角化

证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化. 设A 为n×n矩阵,且 A*2=E,证明：秩（A+E)+秩（A-E)=n 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵设n阶矩阵A的秩为1,证明A^2=tr(A)A 设A为2阶矩阵,且|A|=-1,证明A可以对角化设A为n阶矩阵,且A不是零矩阵,且存在正整数k≥2,使A^k=0,证明：E-A可逆,且（E-A)=E+A+A^2+……A^k-1 设n阶矩阵A满足A^2=A且A≠E,证明｜A｜=0 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明：|A*|=|A|^(n-1) 设A为n阶方阵,且A^2=4A,令B=A^2-5A+6E,证明：B为可逆矩阵. 设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0. 设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0. 设A,B为n阶方阵,且2A-B-AB=E,A^2=A,证明:A-B可逆,并求其逆矩阵设A为n阶矩阵,且满足方程3A^-2A+4I=0.证明A与3A+2I均可逆设A为n阶实对称矩阵且满足A^3+A^2+A=3E,证明A是正定的设A为n阶实对称矩阵且满足A^3+A^2+A=3E,证明A是正定的设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E 设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E线性代数