作业帮已知f(x)的一个原函数是xe^(-x^2),求不定积分f'(x)f''(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 14:08:21
已知f(x)的一个原函数是xe^(-x^2),求不定积分f'(x)f''(x)
已知f(x)的一个原函数是xe^(-x^2),求不定积分f'(x)f''(x)
已知f(x)的一个原函数是xe^(-x^2),求不定积分f'(x)f''(x)
∫ ƒ(x) dx = xe^(- x²)
ƒ(x) = (1 - 2x²)e^(- x²)
ƒ'(x) = 2x(2x² - 3)e^(- x²)
∫ ƒ'(x)ƒ''(x) dx
= ∫ ƒ'(x) d[ƒ'(x)]
= (1/2)[ƒ'(x)]² + C
= (1/2)[2x(2x² - 3)e^(- x²)]² + C
= 2x²(2x² - 3)²e^(- 2x²) + C
f'(x)=(4x^3-6x)e^(-x^2)
f"(x)=(-8x^4 24x^2-6)e^(-x^2)
注意到(f'(x)^2)'=2f'(x)f"(x), 所以f'(x)f"(x)的一个原函数为0.5*f'(x)^2.
设f(x)的原函数为F(x)，则F'(x)=f(x)=e^(-x^2)-2x^2*e^(-x^2),，
f'(x)=4x^3e^(-x^2)-6xe^(-x^2)
∫f'(x)f''(x)dx=∫f'(x)df'(x)=[f'(x)]^2/2+C,带入f'(x)即可
f(x) = [xe^(-x^2)]'
= e^(-x^2) .( 1- 2x^2)
f'(x) = e^(-x^2) ( -4x + (1-2x^2)(-2x))
= e^(-x^2).(4x^2-6x)
f''(x) = e^(-x^2) ( 8x-6 + (4x^2-6x)(-2x))
=e^(-x^2) (...
全部展开
f(x) = [xe^(-x^2)]'
= e^(-x^2) .( 1- 2x^2)
f'(x) = e^(-x^2) ( -4x + (1-2x^2)(-2x))
= e^(-x^2).(4x^2-6x)
f''(x) = e^(-x^2) ( 8x-6 + (4x^2-6x)(-2x))
=e^(-x^2) ( -8x^3+12x^2+8x-6 )
收起