作业帮怎样求e的x次方比x的不定积分谢谢大家帮下忙
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:09:17
怎样求e的x次方比x的不定积分谢谢大家帮下忙
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怎样求e的x次方比x的不定积分谢谢大家帮下忙
e的x次方比x的原函数不是初等函数.证明：假设∫e^x/xdx能表示为初等函数,由刘维尔第三定理知,∫e^x/xdx=R(x)e^x+C,其中R(x)为有理函数.从而R'(x)+R(x)=1/x.（1） 记R(x）=P(x)/Q(x),其中P(x)、Q(x)为多项式,P(x)、Q(x)互质,且Q(x)不等于0.由（1）得Q(x)（P'(x)+P(x)-Q(x)/x)=P(x)Q'(x).即Q(x)（xP'(x)+xP(x)-Q(x))=xP(x)Q'(x).(2) 假设Q(x)的次数大于等于1,由代数基本定理知,Q(x)在复数域内有一根α,设其重数为r(r大于等于0),经过一番推导可知 Q(x)为常数.不妨设 Q(x)=1,则有xP'(x)+xP(x)=1.等式左边的多项式次数至少为1,而等式右边为1,矛盾.故∫e^x/xdx不能表示为初等函数.如果非要求其原函数,可利用幂级数,先将e^x/x按幂级数展开,然后再逐项积分.
理论上已经证明e^x/x的原函数不是初等函数，也就是说∫e^x/xdx是“积不出来”的不定积分。如果硬要求其原函数，可利用幂级数：先将e^x/x按幂级数展开，然后再逐项积分。
令 u =e^x,
则 x =ln u,
dx =(1/u) du
所以 ∫ [ (e^x) /x ] dx = ∫ (u /ln u) (1/u) du
= ∫ (1 /ln u) du.
又因为 ∫ (1 /ln u) d...
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令 u =e^x,
则 x =ln u,
dx =(1/u) du
所以 ∫ [ (e^x) /x ] dx = ∫ (u /ln u) (1/u) du
= ∫ (1 /ln u) du.
又因为 ∫ (1 /ln u) du 是超越积分,
所以 ∫ [ (e^x) /x ] dx 是超越积分,
即 ∫ [ (e^x) /x ] dx 不能表示为初等函数.
= = = = = = = = =
百度百科：
超越积分
-> 6.∫x^n/lnxdx (n≠-1).
当 n=0 时, 为∫ (1 /ln x) dx.
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分步积分