数列系数求解有两个无限序列：{ak}与{bk}其中{bk}是已知的两序列的关系如下式：a(k)=[b(k)/8]+[(a(k-1)/8]+[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]现在要把a(k)用下面的表达式表示：a(k)=x(1)*b(k)+x(2)*b(k-1)+x(3)*b(k-2)+x(4)*b(k-3)+.

数列系数求解有两个无限序列：{ak}与{bk}其中{bk}是已知的两序列的关系如下式：a(k)=[b(k)/8]+[(a(k-1)/8]+[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]现在要把a(k)用下面的表达式表示：a(k)=x(1)*b(k)+x(2)*b(k-1)+x(3)*b(k-2)+x(4)*b(k-3)+.
数列系数求解
有两个无限序列：
{ak}与{bk}
其中{bk}是已知的
两序列的关系如下式：
a(k)=[b(k)/8]+[(a(k-1)/8]+[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]
现在要把a(k)用下面的表达式表示：
a(k)=x(1)*b(k)+x(2)*b(k-1)+x(3)*b(k-2)+x(4)*b(k-3)+...+x(n)*b(k-n-1)+...
请问序列x(k)有规律吗?
如果没有规律请求出x(1)到x(10)
很明显x(1)=1/8
sn=x(1)+x(2)+................
序列{x(n)}应该不是递推的，即x(n)仅与n有关，与x(n-1)无关
x(n)是关于n的函数（我猜是这样）
已经有太多人为这道题付出心血（如 yjulica），我决定再加分100对他们表示感谢
请不要考虑C语言
这是一个典型的数列在计算机中的应用，数列在计算机中对应过去就是“数组”
我说sn收敛，并收敛于1，是有原因的，只不过需要数学证明。
观察表达式：
a(k)=[b(k)/8]+[(a(k-1)/8]+[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]
右式的系数和就是(1/8)+(1/8)+(1/4)+(1/2)=1;
而用{x(n)}数列来表示a(k)就是在{b(k)}序列前加权，权的和应该=1
同理如果a(k)地表达式为：
a(k)=[b(k)/16]+[(a(k-1)/16]+[a(k-2)/8]+[a(k-3)/4]+[a(k-4)/2]
也应该有同样的效果：sn也收敛于1。
比如经过数学推导后就可以求得多少次后能收敛到0.99以上，即得知LoopTime的取值
//这是一个计算机采样AD子程序的数学模型
//C语言编程如下，不知对不。
WORD ReadPosition(int LoopTime)
{
int Loop;
for(Loop=0;Loop

数列系数求解有两个无限序列：{ak}与{bk}其中{bk}是已知的两序列的关系如下式：a(k)=[b(k)/8]+[(a(k-1)/8]+[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]现在要把a(k)用下面的表达式表示：a(k)=x(1)*b(k)+x(2)*b(k-1)+x(3)*b(k-2)+x(4)*b(k-3)+.
写了个程序算了下:
当k=10时:
x(1) = 1/8
x(2) = 1/64
x(3) = 17/512
x(4) = 289/4096
x(5) = 817/32768
x(6) = 9793/262144
x(7) = 96849/2097152
x(8) = 462689/16777216
x(9) = 4519281/134217728
x(10) = 36715649/1073741824
当k=20时
x(1) = 1/8
x(2) = 1/64
x(3) = 17/512
x(4) = 289/4096
x(5) = 817/32768
x(6) = 9793/262144
x(7) = 96849/2097152
x(8) = 462689/16777216
x(9) = 4519281/134217728
x(10) = 36715649/1073741824
x(11) = 227472529/8589934592
x(12) = 1971858849/68719476736
x(13) = 15010625457/549755813888
x(14) = 104793334465/4398046511104
x(15) = 849759207121/35184372088832
x(16) = 6369172675553/281474976710656
x(17) = 46792413612529/2251799813685248
x(18) = 366237533444353/18014398509481984
x(19) = 2745424356186385/144115188075855872
x(20) = 20584082776103457/1152921504606846976
当k=10时,系数和=481358409/1073741824 =0.448299952782690525054931640625
当k=20时,系数和=783295747515421929/1152921504606846976
=0.67940076092390209398091949211107
我们可以猜想sn收敛于1,下面就来严格证明：
我们先求出xn的通项公式,借用楼上的递推式:
xn=x(n-3)/2+x(n-2)/4+x(n-1)/8
写出{xn}的特征方程,y^3=1/2+y/2+y^2/8
这是个一元三次方程,三个根分别为:
y1=0.9468061876
y2=-0.410903+0.599375i
y3=-0.410903-0.599375i
设xn=a1y1^(n-1)+a2y2^(n-1)+a3y3^(n-1)
显然a2,a3是一对共轭负数,设a2=a+bi,a3=a-bi
x1=a1+2a=1/8
x2=a1x1+(a+bi)y2+(a-bi)*y3=1/64
x3=a1x1+(a+bi)y2^2+(a-bi)(y3^2=17/512
解得a1=0.050874,a=0.037063,b=0.001738
这样就得到{xn}的通项公式:
xn=0.050874*0.9468061876^(n-1)+(0.037063+0.001738i)*(-0.410903+0.599375i)^(n-1)+(0.037063-0.001738i)*(-0.410903-0.599375)^(n-1)
由于负数的模|-0.410903+0.599375i|∞)sn
=0.050874/(1-0.9468061876)+(0.037063+0.001738i)/(1.410903-0.599375i)+(0.0370603-0.001738i)/(1.410903+0.599375i)
=1.0000088493730074067849069432437
考虑浮点数计算误差,可以认为sn->1
所以sn收敛于1
若想收敛到0.99,设要计算到第n项:
0.050874/(1-0.9468061876)*(0.9468061876)^(n-1)

a(k)=[b(k)/8]+[(a(k-1)/8]+[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]
a(k-1)=[b(k-1)/8]+[(a(k-2)/8]+[a(k-3)/4]+[a(k-4)/2]
a(k-2)=[b(k-2)/8]+[(a(k-3)/8]+[a(k-4)/4]+[a(k-5)/2]
a(k-3)=[b(k-3)/8]+[(a(k-4)/8]+[a(k-5...

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a(k)=[b(k)/8]+[(a(k-1)/8]+[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]
a(k-1)=[b(k-1)/8]+[(a(k-2)/8]+[a(k-3)/4]+[a(k-4)/2]
a(k-2)=[b(k-2)/8]+[(a(k-3)/8]+[a(k-4)/4]+[a(k-5)/2]
a(k-3)=[b(k-3)/8]+[(a(k-4)/8]+[a(k-5)/4]+[a(k-6)/2]
a(k-4)=[b(k-4)/8]+[(a(k-5)/8]+[a(k-6)/4]+[a(k-7)/2]
a(k-5)=[b(k-5)/8]+[(a(k-6)/8]+[a(k-7)/4]+[a(k-8)/2]
a(k)=[b(k)/8]+[b(k-1)/64]+[(a(k-2)/64]+[a(k-3)/32]+[a(k-4)/16]
[a(k-2)/4]+[a(k-3)/2]
=[b(k)/8]+[b(k-1)/64]+[(17a(k-2)/64]+[17a(k-3)/32]+[a(k-4)/16]
=[b(k)/8]+[b(k-1)/64]+[17b(k-2)/64]+[(17a(k-3)/64]+[17a(k-4)/32]+[17a(k-5)/16]+[17a(k-3)/32]+[a(k-4)/16]
=[b(k)/8]+[b(k-1)/64]+[17b(k-2)/64]+[(51a(k-3)/64]+[19a(k-4)/32]+[17a(k-5)/16]
……
x(1)=1/8
x(2)=1/64
x(3)=17/64
x(4)=51/64，
……
蛮麻烦的，没时间了，以后慢慢考虑。
对不起，C语言我不懂，不能给你提供帮助。

收起

x(1)=1/8
x(2)=1/64
x(3)=17/512
x(n)=x(n-3)/2+x(n-2)/4+x(n-1)/8
sn我认为应该是收敛的，但是是不是收敛到1我还不太确定
我很同意你的猜想，可惜我也不会证明。
从其他两位的数据看来，我得到的递推式应该是对的，
但是我没有办法得到xn的通项（虽然理论上可以，但是很复杂），
所...

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x(1)=1/8
x(2)=1/64
x(3)=17/512
x(n)=x(n-3)/2+x(n-2)/4+x(n-1)/8
sn我认为应该是收敛的，但是是不是收敛到1我还不太确定
我很同意你的猜想，可惜我也不会证明。
从其他两位的数据看来，我得到的递推式应该是对的，
但是我没有办法得到xn的通项（虽然理论上可以，但是很复杂），
所以也没有办法从数学上证明你的猜想。
至于程序，我相信你实现的应该是没有错的，
除了在贴出来的是return前少了一个右边的大括号。
yjulica解通项的方法是对的，但是解出来的代数解会很复杂，会涉及到复数，
所以要继续求出级数和是一件很困难的事情。
我想正因为这样，他才用计算机模拟计算求和，我想这也很大程度能说明问题吧。
如果lz真的希望从数学上去证明，那么我想只能期待高人了，呵呵。
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x(n)的通项是可以从递推式得到的，但是结果的表示比较复杂，推算是应用都不太实际。
感谢一下yjulica的证明，下面我说一下xn收敛的证明吧：
x1=1/8,x2=1/64,x3=17/512，可以看得出来，xn是一个递减数列
根据前面推导的公式，x(n)=x(n-3)/2+x(n-2)/4+x(n-1)/8 <=x(n-1)*(1/2+1/4+1/8)=7/8 x(n-1)
所以x(n)/x(n-1)<7/8<1，所以sn是收敛的。
这个也可以用于数学归纳法证明xn是递减的。

收起

对于计算机来说应该挺简单的。支持上面的，好像没错。