作业帮为什么函数f(x)=x在负无穷到正无穷上的反常积分是发散的,为什么不是0啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 13:29:16
为什么函数f(x)=x在负无穷到正无穷上的反常积分是发散的,为什么不是0啊
为什么函数f(x)=x在负无穷到正无穷上的反常积分是发散的,为什么不是0啊
为什么函数f(x)=x在负无穷到正无穷上的反常积分是发散的,为什么不是0啊
这是一个无穷限反常积分,在（-∞,+∞）上的积分要拆成（-∞,0】和【0,+∞）两段来考虑,当在这两段上反常积分都收敛时,那么在（-∞,+∞）上反常积分才收敛,并且有
∫（-∞,+∞）f(x)dx=∫（-∞,0】f(x)dx+∫【0,+∞）f(x)dx
如果这两段中有一段不收敛,那么原反常积分也就不收敛
而当f(x)=x时
∫（-∞,0】f(x)dx=-∞
∫【0,+∞）f(x)dx=+∞
这两段都发散,因此在（-∞,+∞）上的积分也发散
只有当f(x)在负无穷大到a以及a到正无穷大上的反常积分都收敛时 ，f(x)在负无穷到正无穷上的反常积分才是收敛的
对于f(x)=x很明显在负无穷大到a以及a到正无穷大上的反常积分都是发散的，所以函数f(x)=x在负无穷到正无穷上的反常积分是发散的
常理是0
但是你问的是反常理
反常积分当然是发散的了，
不错，f(x)=x的积分为：g(x)=x^2
但是正无穷的平方减负无穷的平方不是为0的
两个无穷大差，
比如说：X趋于无穷大时，X^4-X^2,结果还是无穷大，
或者 X趋于正无穷大时：X-（X^2+X）=-X^2，结果是负无穷大。
这里就说明了，两个无穷大差，是无法确定的。
把积分分为两部分来算，负无穷到0和...
全部展开
反常积分当然是发散的了，
不错，f(x)=x的积分为：g(x)=x^2
但是正无穷的平方减负无穷的平方不是为0的
两个无穷大差，
比如说：X趋于无穷大时，X^4-X^2,结果还是无穷大，
或者 X趋于正无穷大时：X-（X^2+X）=-X^2，结果是负无穷大。
这里就说明了，两个无穷大差，是无法确定的。
把积分分为两部分来算，负无穷到0和0到正无穷，你就会发现，每部分都是发散的，那么原积分肯定也就是发散的了。
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因为f(x)=x在左边趋向负无穷，在右边趋向正无穷的速度不能确保一致。
另外，你用极限最基本的定义ξ - N的观念来看的话，也可以看出来limf(x)等于任何值都是不恰当的。
当然，也有人考虑到了你说的这种情况，所以反常积分f(x)在R上的 Cauchy主值 就是0.
关于Cauchy主值的定义，
http://www.cqupt.edu.cn/gdsx/jiaoa...
全部展开
因为f(x)=x在左边趋向负无穷，在右边趋向正无穷的速度不能确保一致。
另外，你用极限最基本的定义ξ - N的观念来看的话，也可以看出来limf(x)等于任何值都是不恰当的。
当然，也有人考虑到了你说的这种情况，所以反常积分f(x)在R上的 Cauchy主值 就是0.
关于Cauchy主值的定义，
http://www.cqupt.edu.cn/gdsx/jiaoan/gaoshu1/CH%2010.doc
里有很多反常积分的相关知识。第5条就是Cauchy主值的意义。
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