作业帮求偏导.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 17:32:50
求偏导.
求偏导.
求偏导.
、偏导数定义、计算法及几何意义
1、定义
由于多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多.本节,我们以二元函数 为例,考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率的问题.
若只有自变量变化,而自变量固定(即看作常量),这时,就成了一元函数,这个函数对于的导数,就称之为二元函数对于的偏导数.
【定义】设函数在点的某一邻域内有定义,当固定在,而在处有增量时,相应地函数有增量
如果极限
存在,则称此极限为函数在点处对的偏导数,并记作
即 (1)
类似地,函数在点处对的偏导数定义为
如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在,那未这个偏导数就是的函数,称它为函数对自变量的偏导函数,记作 .
类似地,可以定义函数对自变量的偏导函数,并记作
由偏导函数概念可知,在点处对的偏导数,其实就是偏导函数在点处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值.
在不产生混淆的情况下,我们以后把偏导函数也简称为偏导数.
2、计算法
求的偏导数,并不需要新的方法,因为这里只有一个自变量在变化,另一自变量被看成是固定的,所以仍然是一元函数的导数.
求时,把看作常量,而对求导数；
求时,把看作常量,而对求导数.
显然,偏导数的概念可推广到三元以上的函数情形.
例如,三元函数在点处对的偏导数是如下极限
注:偏导数的记号应看作一个整体性的符号(不能看成商的形式),这与一元函数导数可看作函数微分与自变量微分之商是有区别的.
3、几何意义
同样,偏导数表示曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
4、二元函数的偏导数与连续性之间的关系
一元函数在某点可导,则函数在该点一定连续；若函数在某点不连续,则函数在该点一定不可导.对于二元函数来说,情况就不同了.
二元函数在点处的偏导数、,仅仅是函数沿两个特殊方向( 平行于轴、轴 )的变化率；而函数在点连续,则要求点沿任何方式趋近于点时,函数值趋近于,它反映的是函数在点处的一种“全面”的性态.
因此,二元函数在某点偏导数与函数在该点的连续性之间没有联系.