作业帮已知a1 a2 a3 线性无关,求证:a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关.求高手指教 谢谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 20:52:14
已知a1 a2 a3 线性无关,求证:a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关.求高手指教 谢谢!
已知a1 a2 a3 线性无关,求证:a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关.求高手指教 谢谢!
已知a1 a2 a3 线性无关,求证:a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关.求高手指教 谢谢!
因为 (a1+a2) - (a2+a3) + (a3-a1) = 0
所以 a1+a2,a2+a3,a3-a1 线性相关
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0
(k1-k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0
=>
k1-k3=0 (1)
k1+k2=0 (2)
k2+k3=0 (3)
(2) -(3) =(1)
=>a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关
要证明a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关。
只要证明a1+a2能被a2+a3,a3-a1线性表示
很显然a1+a2=a2+a3-(a3-a1)
所以a1+a2能被a2+a3,a3-a1线性表示
所以a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关。
得证！
定义证明
设k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0
化简得（k1-k3)a1+(k2+k1)a2+(k2+k3)a3=0
因为a1 a2 a3 线性无关
所以k1-k3=0,k1+k2=0,k2+k3=0
（1 0 -1 初等变换 （ 1 1 0
A= 1 1 0 ————>...
全部展开
设k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0
化简得（k1-k3)a1+(k2+k1)a2+(k2+k3)a3=0
因为a1 a2 a3 线性无关
所以k1-k3=0,k1+k2=0,k2+k3=0
（1 0 -1 初等变换 （ 1 1 0
A= 1 1 0 ————> 0 1 1
0 1 1 ） 0 0 0 ）
因为A的行列式等于0
所以存在一组不全为零的k1、k2、k3使得k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0
所以a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关
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