作业帮⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.求证△ABC∽△BDC若AC=8,BC=6,求三角形BDC的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:28:56
⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.求证△ABC∽△BDC若AC=8,BC=6,求三角形BDC的面积
⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.求证△ABC∽△BDC
若AC=8,BC=6,求三角形BDC的面积
⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.求证△ABC∽△BDC若AC=8,BC=6,求三角形BDC的面积
(1)
根据已知条件得
△ABC为RT△,∠C=90
RT△ABC与RT△ABD共用∠A
RT△ABC∽RT△ABD
同理可求
RT△BDC∽RT△ABD
RT△BDC∽RT△ABC
(2)
AC=8,BC=6
根据勾股定理得,AB=10
RT△ABC∽RT△ABD
AC:BD=BC:AB
8:BD=6:10
BD=40/3
S△ABD=1/2ABxBD=1/2x10x40/3=200/3
S△ABC=1/2ACxBC=1/2x8x6=24
S△BCD=S△ABD-△ABC=200/3-24=128/3
因圆心O在AB上，所以∠ACB=90°。
因BD是圆的切线，所以∠ABD=90°，
因为∠BCD+∠CBD=90°
∠ABC=∠BDC
所以△ABC∽△BDC
由△ABC∽△BDC得，AC/BC=BC/CD
得8/6=6/CD
CD=9/2
S=（6×9/2）/2=27/2=13.5
⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上,则∠ACB=90°；
过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，则DB⊥AB于B,∠ABD=90°;
∠A=∠DBC,[同弧圆周角=弦切角]
RT△ABC∽RT△BDC,[AAA]
AC=8，BC=6，AB²=AC²+BC²=8²+6²=10²<...
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⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上,则∠ACB=90°；
过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，则DB⊥AB于B,∠ABD=90°;
∠A=∠DBC,[同弧圆周角=弦切角]
RT△ABC∽RT△BDC,[AAA]
AC=8，BC=6，AB²=AC²+BC²=8²+6²=10²
AB=10
AB:BD=AC:BC
BD=AB*BC/AC=10*6/8=15/2;
RT三角形BDC的面积=RT三角形ABD的面积-RT三角形ACB的面积
=AB*BD/2-AC*BC/2
=10*15/2*1/2-8*6/2
=27/2
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分析：（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；
（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．
（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD，...
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分析：（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；
（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．
（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCD=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠CBD+∠D=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABC∽△BDC；
（2）∵△ABC∽△BDC，
∴S△ABCS／△BDC=(AC/BC)²，
∵AC=8，BC=6，
∴S△ABC=12AC•BC=12×8×6=24，
∴S△BDC=S△ABC／(ACBC)²=24／（86﹚²=272．
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