“类比”的定义是什么?快告诉我!

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“类比”的定义是什么?
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类比
一、类比
数学解题与数学发现一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上,获得对有关问题的结论或解决方法的猜想,然后再设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．
所谓类比,就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.类比是一种主观的不充分的似真推理,因此,要确认其猜想的正确性,还须经过严格的逻辑论证．
运用类比法解决问题,其基本过程可用框图表示如下：
可见,运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个类型．
（1）降维类比
将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象,此种类比方法即为降维类比．
【例1】如图,过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1‖VA,OB1‖VB,OC1‖VC,A1,B1,C1分别是所作直线与侧面交点．
求证：++为定值．
分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1‖AC,OB1‖BC,分别交BC、AC于A1、B1,求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外,过A、O分别作BC垂线,过B、O分别作AC垂线,则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形,也可用两种方法证明其定值为1．
证明：如图,设平面OA1 VA∩BC＝M,平面OB1 VB∩AC＝N,平面OC1 VC∩AB=L,则有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1 ∽△ LCV．得
++=++.
在底面△ABC中,由于AM、BN、CL交于一点O,用面积法易证得：
++=1.
∴++=1.
【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球,S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于．
【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形,以各边为直径作圆,S‘是所作三个圆的交集”,通过探索S’的类似性质,以寻求本题的论证思路．如图,易知S‘包含于以正三角形重心为圆心,以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．
证明：如图,正四面体 ABCD中,M、N分别为BC、AD的中点,G
为△BCD的中心,MN∩AG＝O．显然O是正四面体ABCD的中心．易知OG=·AG=,并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于,其球O必包含S．现证明如下．
根据对称性,不妨考察空间区域四面体OMCG．设P为四面体OMCG内任一点,且P不在球O内,现证P亦不在S内．
若球O交OC于T点.△TON中,ON=,OT=,cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-.由余弦定理：
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=,∴TN=.
又在 Rt△AGD中,N是AD的中点,∴GN=.由GN= NT＝, OG＝OT, ON=ON,得 △GON≌△TON.∴∠TON＝∠GON,且均为钝角．
于是显然在△GOC内,不属于球O的任何点P,均有∠PON>∠TON,即有PN>TN=,P点在 N为球心,AD为直径的球外,P点不属于区域S．
由此可见,球O包含六个球的交集S,即S中不存在两点,使其距离大于．
（2）结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后可通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决．
【例3】任给7个实数xk（k=1,2,…,7）．证明其中有两个数xi,xj,满足不等式0≤≤·
【分析】若任给7个实数中有某两个相等,结论显然成立．若7个实数互不相等,则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似,故可选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：xk=tgαk（k ＝l,2,…,7）,证明必存在αi,αj,满足不等式0≤tg(αi-αj)≤·
证明：令xk=tgαk（k ＝l,2,…,7）,αk∈（-,）,则原命题转化为：证明存在两个实数αi,αj∈（-,）,满足0≤tg(αi-αj)≤·
由抽屉原则知,αk中必有 4个在[0,）中或在（-,0）中,不妨设有4个在[0,）中．注意到tg0＝0,tg=,而在[0,）内,tgx是增函数,故只需证明存在αi,αj,使0<αi-αj <即可.为此将[0,）分成三个小区间：[0,]、（,]、（,）.又由抽屉原则知,4个αk中至少有2个比如αi,αj同属于某一区间,不妨设αi>αj,则0≤αi-αj ≤,故0≤tg(αi-αj)≤·这样,与相应的xi=tgαi、xj=tgαj,便有0≤≤·
（3）简化类比
简化类比,就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题,通过类比命题解决思路和方法的启发,寻求原命题的解决思路与方法．比如可先将多元问题类比为少元问题,高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等．
【例4】已知xi≥0（i＝1,2,…,n）,且xl+x2+…+xn=1.
求证：1≤++…+≤．
【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题：“已知xl≥0,x2≥0,且xl+x2 =1,求证1≤+≤”．本类比题的证明思路为：∵2≤xl+x2＝l,∴0≤2≤1,则1≤xl+x2+2≤2,即1≤(+)2≤2,∴1≤+≤．这一证明过程中用到了基本不等式和配方法．这正是要寻找的证明原命题的思路和方法．
证明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj,则
0≤2≤(n-1)( xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n,即1≤(++…+)2≤n
∴1≤++…+≤．
所谓归纳,是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实,是个别或特殊的判断、陈述,结论是从前提中通过推理而获得的猜想,是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设Mi（i＝1,2,…,n）是要研究对象M的特例或子集,若Mi（i＝1,2,…,n）具有性质P,则由此猜想M也可能具有性质P．
如果＝M,这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特例,因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法,它又称为枚举归纳法．
如果是M的真子集,这时的归纳法称为不完全归纳法．由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象,得出的结论只能算猜想,结论的正确与否有待进一步证明或举反例．
本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想,对于完全归纳法,将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解．
【例5】证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十．
【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手,我们可以从特例考察起：先考虑面积为1的正方形,其周长恰为4,对角钱之和为2即．其次考察面积为1的菱形,若两对角线长记为l1、l2,那么菱形面积S=l1·l2,知
l1+ l2≥2=2=,菱形周长： l＝4≥2=4.
由此,可以猜想：对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑．
【证明】设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形,其有关线段及角标如图．则
SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα
≤ (e+f)(g+h)≤,
∴e+f+g+h≥2,即对角线长度之和不小于．
∴a＋b＋c＋d≥4,即周长不小于4．
综上所述,结论得证,
【例 6】在一直线上从左到右依次排列着 1988个点P1,P2,…,P1988,且Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点中最靠近Pk+1的那个点（2≤k≤1988）,P1P2=1,
P1987 P1988=l．求证：2l<3-1984.
【分析】本题初看复杂,难以入手．不妨先从特殊值出发,通过特殊值的计算,以便分析、归纳出一般性的规律．
当k=1时,P1P2=1（已知）；当k= 2时, P2是P1P3的中点,故P2P3= P1P2= 1；当k=3时, P3是P2P4的三等分点中最靠近的那个分点,即P3P4= P2P4= ( P2P3+ P3P4) =P2P3+ P3P4,故P3P4= P2P3=①
由此可推得4 P5=×②,P5P6=××③
由①、②、③,可归纳以下猜想：
PkPk+1=Pk-1Pk.
【证明】
于是有：
令k=1987,则有
故2l<3-1984.
二、类比
类比 (Qiys)
伊斯兰教法学概念和立法原则之一.与《古兰经》、圣训和公议并称为教法的4个主要渊源和理论基础.阿拉伯语“格亚斯”的意译,中国穆斯林学者译作“比论”、“援例”.系通过比较推导出结论的一种方法.通常是从一般推出特殊,从已知的前提或导因或事物间的相似性或本质联系推演出未知的判断或结论.亦称类比推理、类比判断.采取类比法是为了解决无经、训明文作依据的新问题,即把有关律例扩及经、训未涵盖的领域中去,以求得结论,形成新的判例.哈里发欧麦尔在给艾布·穆萨·艾什尔里的信中曾提出：“对于真主的经典和先知的训示中未曾提到的事情,你应先去了解类似事例,然后进行类比.”在伊斯兰教发展的头3个世纪里,逊尼派除罕百里教法学派外,一般都程度不同地运用“类比”原则创制律例,由有限的教法经文推论、提出了许多教法性见解和创制意见,丰富、补充了教法的内容,为教法能以适应现实、解决实际问题开辟了广阔途径.扎希里和贾法里等教法学派则拒绝使用“类比”原则.早期的类比方法较简单,多以当地穆斯林的民俗习惯或教法学家的个人意见为依据,其前提和结论不一定有内在联系.8世纪下半叶以后,教法学逐渐发展并系统化、规范化.著名大法学家沙斐仪提出了严谨的类比判断方法；逐渐代替了被认为带有主观随意性的意见判断,成为一种公认的规范性的方法.其基本要求是：类比必须是在无经、训明文可循的情况下,才准许以类似的经、训原文或已知的公议为前提,通过比较同原判例的联系,找出共同“基因”('Illah),取得符合经、训本意的结论,然后制定出具有相应效力的新律例.在比较、推演中,只能以带有普遍意义的原判例为前提,特殊的例外和源自类比判断的间接结论,不得作为类比的依据.一项类比如有几个意义相近的原判例,则以意义最相近的原判例为前提,但亦容有不同的前提和结论.一项类比一经权威教法学家们的公议所核准,即取得了社会的认可,成为不谬的、应予遵循的律例,不得随意更改.如教法学家以《古兰经》第5章第90节禁止饮酒的规定为例证指出,禁止饮酒是因为酒醉能使人失去理智,故他们援用此例制定了饮用一切醉人并能使人失去理智的东西为非法的律例.近代以来,出自社会法制改革的需要,伊斯兰国·家的现代派学者一般都注重“创制”(伊智提哈德),主张按时代精神更灵活地解释教法原则,在方法上已突破传统的类比法,成为一种新趋向.