作业帮八年级数学（全等三角形）如图,在锐角△ABC中,AB=4 ,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是多少?（请给祥解）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:18:11
八年级数学（全等三角形）如图,在锐角△ABC中,AB=4 ,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是多少?（请给祥解）
八年级数学（全等三角形）
如图,在锐角△ABC中,AB=4 ,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是多少?（请给祥解）
八年级数学（全等三角形）如图,在锐角△ABC中,AB=4 ,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是多少?（请给祥解）
过B作BG⊥AC于G,交AD于M',过M'作M'N'⊥AB于N'
则BM‘+M’N'的最小
因为AD是<BAC的平分线,N点都能在AC上找到对称点N'',则MN=MN''
BM+MN=BM+MN''
点B到AC的所有连线中BG最短(垂线段最短),即BM+MN''>BG
AD是<BAC的平分线,BG⊥AC,M'N'⊥AB
M'N'=GM'(角平分线的性质)
BM‘+M’N'=BG
在RT△ABG中,<GAB=45,AB=4,根据勾股定理,
BG=√2/2AB=√2/2*4=2√2
最少值是4，证明过程稍后发布!
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过B作BE⊥AC于E，交AD于M，过M作MF⊥AD于F，交AB于N，
则M、N为所求的点。这时BM+MN=BE=4÷√2=2√2。
理由：连接MN，易得：ΔAFE≌ΔAFN，∴FE=FN，∴AF垂直平分EN，∴ME=MN
∴BM+MN=BM+ME=BE=2√2(成线段最短)。
在AC线上取一点E使AE=AB.自E点向AB作垂线交AD于F、交AB于G;自M点向EG作垂线垂足为H.连接BE、BF、EM.
ABE为等腰三角形，AD为∠A的平分线，则AD必为BE的垂直平分线，故BF=EF、 BM=EM。
当动点M不与F点重合时，BM=EM＞EH、 MN≥HG,则BM+MN＞EH+HG=EG;
当M点与F点重合、N点与G点重合时，BM+MN=EF+FG=E...
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在AC线上取一点E使AE=AB.自E点向AB作垂线交AD于F、交AB于G;自M点向EG作垂线垂足为H.连接BE、BF、EM.
ABE为等腰三角形，AD为∠A的平分线，则AD必为BE的垂直平分线，故BF=EF、 BM=EM。
当动点M不与F点重合时，BM=EM＞EH、 MN≥HG,则BM+MN＞EH+HG=EG;
当M点与F点重合、N点与G点重合时，BM+MN=EF+FG=EG.
故知：BM+MN≥EG.
AEG为直角等腰三角形，所以EG=AE/√2=4√2/√2=4.
得BM+MN≥4，即BM+MN的最小值是4
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