作业帮为什么求二阶齐次线性递推方程时,(1)若特征方程有两相异根α,β,则a[n]=c1·α^n+c2·β^n；(2)若特征方程有两等根α=β,则a[n]=(c1+nc2)·α^n,(其中 c1,c2 可由初始条件确定)(1)、(2)是如何推导的?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 05:11:34
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为什么求二阶齐次线性递推方程时,(1)若特征方程有两相异根α,β,则a[n]=c1·α^n+c2·β^n；(2)若特征方程有两等根α=β,则a[n]=(c1+nc2)·α^n,(其中 c1,c2 可由初始条件确定)(1)、(2)是如何推导的?
为什么求二阶齐次线性递推方程时,(1)若特征方程有两相异根α,β,则a[n]=c1·α^n+c2·β^n；
(2)若特征方程有两等根α=β,则a[n]=(c1+nc2)·α^n,(其中 c1,c2 可由初始条件确定)
(1)、(2)是如何推导的?
为什么求二阶齐次线性递推方程时,(1)若特征方程有两相异根α,β,则a[n]=c1·α^n+c2·β^n；(2)若特征方程有两等根α=β,则a[n]=(c1+nc2)·α^n,(其中 c1,c2 可由初始条件确定)(1)、(2)是如何推导的?
设特征方程的两根为α,β ≠ 0 (两根可以相等).
由特征方程的定义和根与系数关系,递推式公式可以表示为a[n+2] = (α+β)·a[n+1]-αβ·a[n].
于是a[n+2]-β·a[n+1] = α·(a[n+1]-β·a[n]),即数列a[n+1]-β·a[n]是公比为α的等比数列.
可设a[n+1]-β·a[n] = d1·α^n,同理可设a[n+1]-α·a[n] = d2·β^n.
(1) α ≠ β时两个式子是独立的,相减即得a[n] = (d1·α^n-d2·β^n)/(α-β).
取c1 = d1/(α-β),c2 = -d2/(α-β)即可.
(2) α = β时只是一个等式a[n+1]-α·a[n] = d1·α^n,两边除以α^(n+1).
得a[n+1]/α^(n+1)-a[n]/α^n = d1/α,即数列a[n]/α^n是公差为d1/α的等差数列.
设a[n]/α^n = n·d1/α+c1,取c2 = d1/α即得a[n] = (c1+c2·n)·α^n.