作业帮已知A是一个n*n的矩阵,并有A^2-4A+5I=0,求证n必须为偶数5I,I是单位矩阵。第一个回答，很抱歉的说，你的完全平方公式用错掉了···汗···
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:09:51
已知A是一个n*n的矩阵,并有A^2-4A+5I=0,求证n必须为偶数5I,I是单位矩阵。第一个回答，很抱歉的说，你的完全平方公式用错掉了···汗···
已知A是一个n*n的矩阵,并有A^2-4A+5I=0,求证n必须为偶数
5I,I是单位矩阵。第一个回答，很抱歉的说，你的完全平方公式用错掉了···汗···
已知A是一个n*n的矩阵,并有A^2-4A+5I=0,求证n必须为偶数5I,I是单位矩阵。第一个回答，很抱歉的说，你的完全平方公式用错掉了···汗···
由A^2-4A+5I=0可以推出A^2-4A+4I+I=0,即(A-2I)(2I-A)=I
说明A-2I与2I-A互为逆矩阵
则有A-2I与2I-A的行列式乘积 = 1 .(1)
显然：
2I-A的行列式=(-1)^n * A-2I的行列式
要使(1)式成立,只有n为偶数,否则(1)式左边为负,右边为正.
令f(x)=x^2-4x+5
则f(x)是矩阵A的一个化零多项式，那么A的特征值只能是化零多项式的根。但是这个化零多项式又没有实根，说明n必定是偶数。
因为如果n是奇数，那么A的特征多项式就是奇数次多项式，因式分解后总会有一个一次因式，也就是说总有一个特征值是实数！
这里我用了一些《矩阵论》的知识，《线性代数》中我不记得有没有介绍过“化零多项式”的概念了。楼主有问题可以再讨...
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令f(x)=x^2-4x+5
则f(x)是矩阵A的一个化零多项式，那么A的特征值只能是化零多项式的根。但是这个化零多项式又没有实根，说明n必定是偶数。
因为如果n是奇数，那么A的特征多项式就是奇数次多项式，因式分解后总会有一个一次因式，也就是说总有一个特征值是实数！
这里我用了一些《矩阵论》的知识，《线性代数》中我不记得有没有介绍过“化零多项式”的概念了。楼主有问题可以再讨论。
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A^2-4A+51=0
A^2-4A+16=-51+16
(A-4)^2=-35
无解！！！难道不是51
由A^2-4A+5I=0得(A-2I)^2=-I,两边取行列式得
(det(A-2I))^2=(-1)^n,
左边为非负数,右边是-1的幂,故幂指数必为偶数.