作业帮在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(-1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 10:40:22
在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(-1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.
在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(-1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.
在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(-1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.
(1)
PF₁O为等腰直角三角形,F₁O = OP = 1 = b
a² = b² + c² = 1 + 1 = 2
x²/2 + y² = 1
(2)
(i) l₁:y = kx + m₁,代入椭圆方程:
(2k² + 1)x² + 4km₁x + 2m₁² - 2 = 0
x₁ + x₂ = -4km₁/(2k² + 1)
x₁ + x₂ = 2(m₁² - 1)/(2k² + 1)
|AB|² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² = (x₁ - x₂)² + (kx₁ + m₁ - ky₂ - m₁)²
= (k² + 1)(x₁ - x₂)²
= (k² + 1)[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂]
= 8(4k² - m₁² + 2)/(2k² + 1)²
类似地,
|CD|² = 8(4k² - m₂² + 2)/(2k² + 1)²
|AB| = |CD|
8(4k² - m₁² + 2)/(2k² + 1)² = 8(4k² - m₂² + 2)/(2k² + 1)²
m₁² = m₂²
m₁ = ±m₂
舍去m₁ = m₂:
m₁ = -m₂
(ii)
l₁ + l₂的距离h = |m₁ - m₂|/√(k² + 1) = 2m₁/√(k² + 1) (不妨取m₁ > 0)
S = |AB|*h
= [2m₁/√(k² + 1)]*√[8(4k² - m₁² + 2)]/(2k² + 1)
按理应当边与坐标轴平行或垂直时面积最大:
(a) k = 0
S = (4√2)m₁√(2- m₁²)
S' = (4√2)[√(2- m₁²) - m₁(1/2)(-2m₁)/√(2- m₁²)]
= (4√2)[(2- 2m₁²)/√(2- m₁²)] = 0
m₁ = 1
S = 4√2
(b) k 不存在,不考虑(y = kx + m的形式不存在)