已知a,b,c为正数,a+b+c=1,求y=c/ab+a/bc+b/ac的最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 04:58:44

已知a,b,c为正数,a+b+c=1,求y=c/ab+a/bc+b/ac的最小值
已知a,b,c为正数,a+b+c=1,求y=c/ab+a/bc+b/ac的最小值

已知a,b,c为正数,a+b+c=1,求y=c/ab+a/bc+b/ac的最小值
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) >= (1+1+1)^2=9
所以1/a+1/b+1/c >= 9
设c>=b>=a
那么1/ab>=1/ac>=1/bc
由排序不等式可以得到c/ab+b/ac+a/bc >= c/ac+b/bc+a/ab = 1/a+1/b+1/c >= 9(正序和 >= 乱序和)
所以y的最小值为9

1=a+b+c>=3*(abc)^(1/3) 整理得: (1/abc)^(1/3) >=3 (这里用到了三个数的基本不等式)
y=c/ab+a/bc+b/ac>=3*(1/abc)^(1/3)>=3*3=9
等号当且仅当a=b=c=1/3时取到,y的最小值为9

全部展开

先进行一些变化：2y=(c/ab+a/bc)+(b/ac+c/ab)+(a/bc+c/ab) 然后用基本不等式：a+b>=2根号ab 得到y>=1/a+1/b+1/c 又由a+b+c=1 得到y+1>=1/a+1/b+1/c+a+b+c 再用基本不等式得到y>=2+2+2-1=5 所以最小值为5先进行一些变化：2y=(c/ab+a/bc)+(b/ac+c/ab)+(a/bc+c/ab) 然后用基本不等式：a+b>=2根号ab 得到y>=1/a+1/b+1/c 又由a+b+c=1 得到y+1>=1/a+1/b+1/c+a+b+c 再用基本不等式得到y>=2+2+2-1=5 所以最小值为5

收起

1111111111

已知a,b,c均为正数,且abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值已知a+b+c=1(a,b,c为正数) 求证 (1/(b+c)-a)(1/(a+c)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)^3 已知正数a,b,c,a+2b+c=1,求1/a+1/b+1/c最小值已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值已知a b c为三个不相等的正数,且abc=1.求(1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)大于27 已知a,b,c为正数,a+b+c=1,求y=c/ab+a/bc+b/ac的最小值已知a为正数,b、c为负数,且c 已知a+b+c=1,a,b,c都为正数,(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)大于等于9/2,求a,b,c可不可以不用柯西不等式，我们只学了基本不等式 abc为正数已知abc(a+b+c)=4则（a+b)(a+c)最小值已知a+b+c=1,a,b,c均为正数,证明:c^2/a + a^2/b + b^2/c >=1 ? 已知正数a、b、c满足3a+4b+5c=1,求1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值已知正数a、b、c满足3a+4b+5c=1,求1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值. 若a b c 为正数且满足a+b+c=9 1/a+b + 1/b+c + 1/c+a等于9/10 求a/b+c + b/c+a + c/a+b的值已知abc均为正数,a+b+c=3,√a+√b+√c 已知;三个数a,b,c的积为负数,和为正数,且x=a/|a|+b/|b|+c/|c,求x的值. 已知a,b,c均为正数且a+1除以b+c+2=b+1除以a+c+2=c+1除以a+b+c=k求k的值已知a,b,c均为正数,且a+1/b+c+2=b+c/a+c+2=c+1/a+b+2=k,式求k的值设a b c为正数,且a+b+c=1求a²b²+b²c²+c²a²≥abc