关于第一单元和第二单元的,最好是需要加辅助线的,题越多越好,越难越好,还要附答案,

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如图,在三角形ABCD中.AH垂直BC,垂足为H,点E,F,D,分别是AB,AC,BC的中点,求证:四边形DEFH是等腰梯形.
证明：
因为AH⊥BC，F是AC中点
所以HF＝AC/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
因为D、E是BC、AB的中点
所以DE、EF是三角形ABC的中位线，
所以BE//AC且DE＝AC/2，EF//BC
...

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如图,在三角形ABCD中.AH垂直BC,垂足为H,点E,F,D,分别是AB,AC,BC的中点,求证:四边形DEFH是等腰梯形.
证明：
因为AH⊥BC，F是AC中点
所以HF＝AC/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
因为D、E是BC、AB的中点
所以DE、EF是三角形ABC的中位线，
所以BE//AC且DE＝AC/2，EF//BC
所以DE＝HF
因为FH与AC相交
所以DE与HF不平行
所以四边形DEFH是等腰梯形
AB=2BC，∠B=2∠A，则△ABC是什么三角形.在△ABC中，如果AB=2BC，且∠B=2∠A，则△ABC是什么三角形？？？
答：△ABC是直角三角形且∠ACB是直角
证明：（前两种方法是大家没有给出的方法，写详细一点，其它已经有了的方法不再详细写过程了）
方法一：
在AB上取点D，使CD＝CB（以C为圆心，CB为半径画弧交AB于另一点D即可）
则∠B＝∠CDB
因为∠B＝2∠A
所以∠CDB＝2∠A
又因为∠CDB＝∠A＋∠ACD，
所以∠A＝∠ACD
所以CD＝AD
所以CD＝BC
因为AB＝2BC
所以BC＝CD＝BD
所以∠B＝60°
所以∠A＝30°
所以∠ACB＝90°
方法二：
取AB的中点D，延长AB到E，使BE＝BC，连接CE
因为CB＝CE
所以∠E＝∠BCE
因为∠ABC＝∠E＋∠BCE
所以∠ABC＝2∠E
因为∠ABC＝2∠A
所以∠E＝∠A
所以CE＝CA
因为AB＝2BC，D是AB中点，BE＝BC
所以AD＝BD＝BC＝EB
所以AB＝ED
所以△ABC≌△EDC（SAS）
所以BC＝DC
所以BC＝DC＝BD
所以△BCD是等边三角形
所以∠B＝60°
所以∠A＝30°
所以∠ACB＝90°
所以△ABC是直角三角形
方法三：
作∠B的平分线交AC于D，作DE⊥AB
）
方法四：
作∠B的平分线交AC于D，取AB的中点E，连接DE

三角形一题，在△ABC中，AP⊥BC，CQ⊥AB，S△BQP：S△BCA=9：25，求sinB的值。

因为AP，CQ是△ABC的高
所以∠BPA＝∠BQC
又因为∠B＝∠B
所以△BPA∽△BQC
所以BP：BQ＝BA：BC
即BP：BA＝BQ：BC
而∠B＝∠B
根据“两边对应成比例且夹角相等的三角形相似”得：
△BPQ∽△BAC
所以(BP/AB)^2＝S△BQP/S△BCA=9/25
所以BP/AB＝3/5
所以可设BP＝3K，AB＝5K
所以根据勾股定理得AP＝4K
所以sinB＝AP/AB＝4/5

画一个等腰三角形ABC，AB＝AC
在底边BC上取中点之外的任一点D，连接AD
则三角形ABD和三角形ACD中
AB＝AC，AD＝AD，∠B＝∠C
但三角形ABD和三角形ACD中因为BD≠CD，所以显然不全等
这是SSA的一个很简单的反例
（SSA的条件中，如果相等的角是钝角或直角，那就能判断这两个三角形是全等的，例如常用的直角三角形中全等的判断方法“HL”就是SSA成立的情形）

三角形中的一个不等关系2009-01-12 13:54△ABC中AE是角BAC的外角平分线.D是AE上的一点.连接DB、DC.求证AB+AC证明：
延长BA到M，使AM＝AC，连接DM
因为AE是∠BAC的外角平分线
所以∠CAD＝∠MAD
因为AC＝AM，AD＝AD
所以△ACD≌△AMD
所以DC＝DM
所以AB＋AC＝AB＋AM＝BM
而BM＜DB＋DM
所以BM＜DB＋DC
所以AB＋AC＜DB＋DC


无论三角形的顶点位置如何，△PMN总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示
而在直角坐标系中，已知直角梯形和直角三角形的顶点的坐标，其面积是比较好求的。
下面以一种情形来说明这个方法，其它情形方法一样，表达式也一样（表达式最好加上绝对值，确保是正值）
如图情形（P在上方，M在左下，N在右下），过P作X轴的平行线L，作MA⊥L，NB⊥L（设P在A、B之间）
则A、B的坐标是A(c,b)，B(e,b)
所以PA＝a－c,PB＝e－a,AM＝b－d,BN＝b－f,AB＝e－c
所以S△PMN＝S梯形AMNB－S△PAM－S△PBN
＝(b－d＋b－f)(e－c)/2－(b－d)(a－c)/2－(b－f)(e－a)/2
＝(ad＋be＋cf－af－bc－de)/2
(证明：
因为AB＞AC
所以可在AB上截取AE＝AC，连接DE
因为AD是∠BAC的平分线
所以∠BAD＝∠CAD
因为AD＝AD，AE＝AC
所以△ADE≌△ADC
所以DE＝DC
在△BDE中，根据“任意两边之差小于第三边”得：
BE＞BD－DE
因为BE＝AB－AE＝AB－AC，DE＝DC
所以AB－AC＞BD－DC

三角形三条高交于一点的证明2008-12-25 13:27
这是初三的题，相似部分的，就是在三角形，已知两条高交于一点，试求第三条高过交点
证明一：（相似三角形证明方法，请特别注意“如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似”这个判定方法的作用）
因为BE、CD是高
所以∠BDC＝∠BEC＝90°
因为∠BOD＝∠COE
所以△BOD∽△COE
所以BO/CO＝DO/EO
所以BO/DO＝CO/EO
又因为∠BOC＝∠DOE
所以△BOC∽△DOE
所以∠DEB＝∠DCB
又因为∠AEB＝∠ODB＝90°，∠ABE＝∠OBD
所以△ABE∽△OBD
所以AB/OB＝BE/BD
所以AB/BE＝OB/BD
所以△BDE∽△BOA
所以∠DEB =∠BAO
又因为∠DEB＝∠DCB
所以∠BAO＝∠DCB
因为∠DCB＋∠DBC＝90°
所以∠BAO＋∠DBC＝90°
即∠BAF＋∠ABF＝90°
所以∠AFB＝90°
所以AF⊥BC
证明二：（四点共圆知识的证明方法，比较简单）
因为BE、CD是高
所以∠BDC＝∠BEC＝90°
所以B、C、E、D四点共圆
所以所以∠DEB＝∠DCB
因为BE、CD是高
所以∠ADO＋∠AEO＝180°
所以A、D、O、E四点共圆
所以∠DEO＝∠DAO
即∠DEB＝∠BAF
所以∠DCB＝∠BAF
因为∠DCB＋∠DBC＝90°
所以∠BAO＋∠DBC＝90°
即∠BAF＋∠ABF＝90°
所以∠AFB＝90°
所以AF⊥BC
三角形的内接矩形问题2008-12-11 10:45三角形 ABC GF ‖ BC GD⊥BC 足 D FE⊥BC 足E △ abc 高 过A作 AH⊥ BC 矩形 gdef 在三角形 ABC中 bC=a BC边上高 AH=h 矩形 gdef DE长为X 面积为y 求 y 关于x 解析式 并求定义域

在三角形ABC中，BC＝a，高AH＝h，设AH交GF于K，KH＝m，显然GD＝EF＝m
容易知道△AGF∽△ABC，而相似三角形对应高的比等于相似比，
所以可得：AK：AH＝GF：BC
即：(h－m)：h＝x：a
求出 m＝(ah－hx)/a
所以
S矩形GDEF＝GD*GF
＝x(ah－hx)/a
即 y 关于x 的函数关系式是：y＝x(ah－hx)/a
定义域是 0＜X＜a
如图，在△ABC中，BC=48，高AD=16，它的内接矩形EFGH的邻边的比为5：9，求矩形的面积。

设AD交EH于M，
因为矩形EFGH的邻边的比为5：9
所以若EH＝5X，则HG＝9X；叵EH＝9X，则GH＝5X
因为四边形EFGH是矩形
所以EH//BC，MD＝GH
所以△EH∽△ABC
所以AM/AD＝EH/BC
（相似三角形对应高的比等于对应边的比）
所以
（16－9X）/16＝5X/48
或
（16－5X）/16＝9X/48
解得X＝3/2或X＝2
所以
矩形EFGH的面积＝45X^2＝405/4
或
矩形EFGH的面积＝45X^2＝180

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