利用导数定义证明（n次根号下x）的导数＝1/n(根号下x）

利用导数定义证明（n次根号下x）的导数＝1/n(根号下x）
利用导数定义证明（n次根号下x）的导数＝1/n(根号下x）

利用导数定义证明（n次根号下x）的导数＝1/n(根号下x）
利用定义及等价无穷小替换

y'=y*(㏑y）' 这样只要用定义求㏑x 的导数 就行了 基本初等函数的导数公式推导过程 α 一、幂函数 f ( x ) = x （ α ∈ Q*）的导数公式推导过程 命题 若 f ( x ) = xα （ α ∈ Q*） ，则 f ′ ( x ) = α xα 1 ． 推导过程 f ′( x) = lim f ( x + x ) f ( x ) x α x → 0 ( x + x ) ...

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y'=y*(㏑y）' 这样只要用定义求㏑x 的导数 就行了 基本初等函数的导数公式推导过程 α 一、幂函数 f ( x ) = x （ α ∈ Q*）的导数公式推导过程 命题 若 f ( x ) = xα （ α ∈ Q*） ，则 f ′ ( x ) = α xα 1 ． 推导过程 f ′( x) = lim f ( x + x ) f ( x ) x α x → 0 ( x + x ) = lim x → 0 0 xα = lim = lim x ( Cα x + C1α xα 1x + Cα2 xα 2 x2 + + Cα xα ) xα α α x → 0 (C 1 α 0 x x α 1 α α ) + (C 2 1 α x α 1 x 2 x + Cα xα 2 x 2 + + Cα xα ) α x Cα x x + Cα x x + + Cα xα α = lim x → 0 x 2 = lim ( C1 xα 1 + Cα xα 2 x + + Cα xα 1 ) α α x → 0 α 2 2 x → 0 = C1 xα 1 α = α xα 1 所以原命题得证． 二、正弦函数 f ( x ) = sin x 的导数公式推导过程命题 若 f ( x ) = sin x ，则 f ′ ( x ) = cos x ． 推导过程 f ′( x) = lim = lim f ( x + x ) f ( x ) x sin ( x + x ) sin x x → 0 x ( sin x cos x + cos x sin x ) sin x = lim x → 0 x cos x sin x + ( sin x cos x sin x ) = lim x → 0 x cos x sin x + sin x ( cos x 1) = lim x → 0 x x x x cos x 2 sin cos + sin x 1 2 sin 2 1 2 2 2 = lim x → 0 x x x x 2sin cos x cos 2 sin x sin 2 2 2 2 = lim x → 0 x x x x 2sin cos x cos sin x sin 2 2 2 = lim x → 0 x x x 2sin cos x + 2 2 = lim x → 0 x x sin x 2 = lim cos x + x x → 0 2 2 x → 0 x sin x x 2 = 1． 当 x → 0 时， sin = ，所以此时 x 2 2 2 x 所以 f ′ ( x ) = lim cos x + = cos x ，所以原命题得证． x → 0 2 三、余弦函数 f ( x ) = cos x 的导数公式推导过程命题 若 f ( x ) = cos x ，则 f ′ ( x ) = sin x ． 推导过程 f ′( x) = lim = lim f ( x + x ) f ( x ) x cos ( x + x ) cos x x → 0 x ( cos x cos x sin x sin x ) cos x = lim x → 0 x ( cos x cos x cos x ) sin x sin x = lim x → 0 x cos x ( cos x 1) sin x sin x = lim x → 0 x x x x cos x 1 2 sin 2 cos 1 sin x 2sin 2 2 2 = lim x → 0 x x x x 2sin 2 cos x 2 sin sin x cos 2 2 2 = lim x → 0 x x x x 2sin sin cos x cos sin x 2 2 2 = lim x → 0 x x x 2sin sin x 2 2 = lim x → 0 x x sin x 2 = lim sin x x → 0 x 2 2 x = lim sin x x → 0 2 = sin ( x ) x → 0 = sin x 所以原命题得证． x 四、指数函数 f ( x ) = a （ a ＞0，且 a ≠ 1 ）的导数公式推导过程 命题 若 f ( x ) = a x （ a ＞0，且 a ≠ 1 ） ，则 f ′ ( x ) = a x ln a ． 推导过程 f ′( x) f ( x + x ) f ( x ) x → 0 x x +x a ax = lim x → 0 x x a a x a x = lim x → 0 x a x 1 = lim a x x → 0 x = lim 令 t = a x 1 ， a x = t + 1 ， x = log a ( t + 1) ． 则 即 且当 x → 0 时， x → 1 ， x 1 → 0 ， a a 即 t → 0 ．所以原极限可以表示为： f ′( x) t = lim a x t →0 log a ( t + 1) x 1 = lim a t →0 1 log a ( t + 1) t 1 a x = lim 1 t →0 log a ( t + 1) t 又因为 lim ( t + 1) t = e ，所以 t →0 1 f ′( x) = ax = ax 1 log a e ln a lne x = a ln a 所以原命题得证． 五、对数函数 f ( x ) = log a x （ a ＞0，且 a ≠ 1 ， x ＞ 0 ） 的导数公式推导过程命题 若 f ( x ) = log a x （ a ＞0，且 a ≠ 1 ， x ＞ 0 ） ，则 f ′ ( x ) = 推导过程 1 ． x ln a f ′( x) f ( x + x ) f ( x ) x → 0 x log a ( x + x ) log a x = lim x → 0 x 1 x + x = lim log a x → 0 x x = lim 1 1 x + x = lim x log a x → 0 x x x 1 x x + x = lim log a x → 0 x x x 1 x x + x = lim log a x → 0 x x x x 1 x + x x = lim log a x → 0 x x x 1 x x = lim log a 1 + x → 0 x x 令t = x ．且当 x → 0 时， t → 0 ．所以原极限可以表示为： x f ′( x) 1 1 = lim log a (1 + t ) t t →0 x 又因为 lim (1 + t ) t = e ，所以 t →0 1 1 1 lne 1 log a e = = x x ln a x ln a 所以原命题得证． f ′( x) =

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[x^(1/n)]'=(1/n)x^(1/n-1).
用定义证明较繁。

证明过程注意a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+b^(n-1)]的使用。过程如下：
[x^(1/n)]'=lim(△->0)[(x+△x)^(1/n)-x^(1/n)]/△x
=lim(△->0)1/{[(x+△x)^(1/n)]^(n-1)+[(x+△x)^(1/n)]^(n-2)*x+…+[x^(1/n)]^(n-1)}
=(1/n)x^(1/n-1).